%bac2026gen-asie-juin-sujet1-exo1.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=ja2026j1exo1.py] def seuil(): n = 1 p = 0.5 while ... : n = ... p = ... return ... \end{scontents} Un tireur à l'arc s'entraîne sur une cible dans le but d'atteindre son centre. On modélise la situation de la façon suivante : \begin{itemize} \item au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$ ; \item pour les tirs suivants : \begin{itemize} \item lorsqu'il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne à nouveau le centre de la cible est $\dfrac{4}{5}$ ; \item lorsqu'il n'a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne le centre de la cible est $\dfrac{1}{3}$. \end{itemize} \end{itemize} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement $T_n$ : \og Le tireur atteint le centre de la cible au $n$-ième tir \fg. On note $p_n = P(T_n)$ la probabilité que l'événement $T_n$ se réalise. \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $p_1$ et montrer que $p_2 = \dfrac{17}{30}$. \item Recopier sur la copie l'arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent : \medskip \def\ArbreExoUn{ $T_n$/$p_n$/, $T_{n+1}$/$\frac{4}{5}$/, $\overline{T_{n+1}}$/\numdots/, $\overline{T_n}$/\numdots/, $T_{n+1}$/\numdots/, $\overline{T_{n+1}}$/\numdots/ } \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz{\ArbreExoUn} \end{Centrage} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul :% \[ p_{n+1} = \frac{7}{15}\,p_n + \frac{1}{3} \] % \item On considère la suite $\suiten[p]$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[ u_n = p_n - \frac{5}{8} \] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\suiten$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{15}$. \item Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$. \item En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\suiten[p]$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. \item On considère ci-dessous une fonction \AffVignette[Type=py]{seuil}, incomplète, écrite en langage \textsf{Python}. Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_n$ soit supérieur ou égal à $0{,}6$. \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{ja2026j1exo1.py} \item Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation $p_n \geqslant 0{,}6$. \end{enumerate}