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%bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo3.tex L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$. On considère : \begin{itemize} \item les points $A(4;2;2)$, $B(5;-2;3)$ et $C(1;1;1)$ ; \item la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est donnée par% \[ \begin{cases} x = 1+2t \\ y = 1+t \\ z = 1+2t \end{cases} \text{ avec } t \in \R ~ ; \] \item le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $\Delta$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Vérifier que la droite $\Delta$ passe par le point $C(1;1;1)$ mais pas par le point $A$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x + y + 2z - 14 = 0$. \item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ passe par le point $B$ mais pas par le point $C$. \end{enumerate} \item On considère le point $D(3;2;3)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le point $D$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $\mathcal{P}$. \item Justifier que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires. \item Calculer le produit scalaire $\vect{AB}\cdot\vect{AD}$. \item Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$. \textit{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par} $V = \dfrac{1}{3} \times B \times h$ \textit{où} $B$ \textit{est l'aire d'une base du tétraèdre et} $h$ \textit{la hauteur relative à cette base.} \end{enumerate} \item On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que les coordonnées du point $H$ sont $\left(\dfrac{73}{29};\dfrac{-4}{29};\dfrac{51}{29}\right)$. \item Démontrer que l'aire du triangle $ABC$ est $\dfrac{3\sqrt{22}}{2}$. \item En déduire la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. \end{enumerate} \end{enumerate}
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