%bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo2.tex %script python \begin{scontents}[overwrite,write-out=an2026j2exo2.py] from math import* def termes(p) : u = ... S = 0 L = [] for i in range(p) : S = ... u = ... L.append(S) return L \end{scontents} \textbf{Partie A : étude du sens de variation d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$. \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation $f(x) = x$. \item \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. Vérifier que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B : étude de la convergence d'une suite récurrente} \medskip La suite $\suiten$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$. \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} < \sqrt{3}$. \item En déduire que la suite $\suiten$ converge et déterminer sa limite. \item Le but de cette question est de retrouver par une autre méthode les résultats de la question~\textbf{2.} de la \textbf{partie B}. Pour tout entier naturel $n$, on pose :% \[ v_n = \frac{u_n^2}{3-u_n^2}. \] On admet que la suite $\suiten[v]$ est bien définie. \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est une suite géométrique de raison $4$ dont on précisera le premier terme. \item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis que $u_n = \sqrt{\frac{1{,}5 \times 4^n}{1+0{,}5 \times 4^n}}$ pour tout entier naturel $n$. \item En déduire la limite de la suite $\suiten$. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C : étude de la convergence de la somme de termes} \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $S_n = u_0^2 + u_1^2 + \ldots + u_{n-1}^2$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le script \textsf{Python} ci-dessous afin que celui-ci permette de lister les $p$ premiers termes de la suite $\suiten[S]$. \CodePythonLstFichierAlt*[10cm]{center}{an2026j2exo2.py} Remarque : on rappelle qu'en langage \textsf{Python}, \begin{itemize} \item la commande \AffVignette[Type=py]{L=[]} crée une liste vide ; \item la commande \AffVignette[Type=py]{L.append(S)} ajoute, à la fin de la liste \AffVignette[Type=py]{L}, l'élément supplémentaire \AffVignette[Type=py]{S}. \end{itemize} \item On rappelle que, pour tout entier naturel $k$, on a $1 \leqslant u_k \leqslant \sqrt{3}$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $n \leqslant S_n \leqslant 3n$. \item En déduire les limites respectives de $S_n$ et de $\dfrac{S_n}{n^2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate}