%bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo1.tex Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs $A$ et $B$. \smallskip Il a été constaté que : \begin{itemize} \item $91\,\%$ du stock de tomates est commercialisable ; \item $60\,\%$ du stock de tomates provient du fournisseur $A$ ; \item parmi les tomates provenant du fournisseur $A$, la proportion de tomates commercialisables est de $95\,\%$. \end{itemize} On choisit au hasard une tomate dans le stock. On désigne par : \begin{itemize} \item $A$ l'événement « La tomate provient du fournisseur $A$ » ; \item $B$ l'événement « La tomate provient du fournisseur $B$ » ; \item $C$ l'événement « La tomate est commercialisable ». \end{itemize} Pour un événement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$. \medskip \textbf{Partie A} \smallskip \begin{enumerate} \item Recopier l'arbre ci-dessous en complétant les pointillés. \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz[Type=2x2,PositionProbas=auto]{$A$/\numdots/,$C$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/,$B$/\numdots/,$C$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/,} \end{Centrage} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur $A$. \item Démontrer que $P_B(C)=0{,}85$. \item La tomate choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois moins de chances qu'elle provienne du fournisseur $A$ que du fournisseur $B$. A-t-il raison ? \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip On rappelle que $9\,\%$ des tomates du stock ne sont pas commercialisables. \begin{enumerate} \item On prend $15$ tomates dans le stock au hasard et de manière indépendante. On considère que le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $15$ tomates. \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. En préciser les paramètres. \item Déterminer la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables. \textit{On donnera la valeur arrondie au millième.} \item Déterminer la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables. \textit{On donnera la valeur arrondie au millième.} \end{enumerate} \item On constitue désormais un échantillon de $n$ tomates, toujours dans les mêmes conditions, où $n$ désigne un entier naturel non nul. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de tomates non commercialisables et $F_n$ la variable aléatoire égale à la fréquence de tomates non commercialisables dans cet échantillon de $n$ tomates. On a donc $F_n = \dfrac{X_n}{n}$. On admet que la variable aléatoire $X_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}09$. \begin{enumerate} \item Calculer l'espérance $\Esper{F_n}$ et exprimer la variance $\Varianc{F_n}$ en fonction de $n$. \item Démontrer que $P{\left(0{,}04 < F_n < 0{,}14\right)} \geqslant 1 - \dfrac{32{,}76}{n}$. \item Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de $500$ tomates. Il s'aperçoit que $55$ tomates ne sont pas commercialisables. Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \end{enumerate}