%bac2026gen-ag-juin-sujet1-exo4.tex \textbf{Partie A : lecture graphique} \medskip On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde. On a tracé, dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction $f$, notée $\mathcal{C}$, ainsi que la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point $A(1;0)$. On précise que $T$ passe par le point $B(0;-2)$. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=2.1cm,y=0.7cm,Xmin=-0.25,Xmax=5.25,Xgrilles=1,Ymin=-3.25,Ymax=6.26,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{} \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0.50125,Pas=0.01]{x*log(2*x-1)} \TracerCourbe[Couleur=red,StyleTrace=dashed]{2*x-2} \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(1,0)/$A$/above left,(0,-2)/$B$/above left} \PlacerTexte[Couleur=blue]{(3.125,5.75)}{$\mathcal{C}$} \PlacerTexte[Couleur=red]{(3.875,5.25)}{$T$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique. \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(1)$. \item La fonction $f$ est-elle concave sur $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ ? \item Déterminer $f''(1)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : étude de fonction} \medskip On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ par : \[ f(x) = x\ln(2x-1) \] où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On rappelle que : \begin{itemize} \item la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$, que $f'$ désigne sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde ; \item $\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $\dfrac{1}{2}$. En déduire une interprétation graphique. \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$. \item On admet que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ : \[ f'(x) = \ln(2x-1) + \frac{2x}{2x-1}. \] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ : \[ f''(x) = \frac{4(x-1)}{(2x-1)^2}. \] \item Montrer que $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion et que ce point est l'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $\intervFF{1}{2}$. \item On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$, on a : \[ \frac{x^2}{2x-1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \times \frac{2}{2x-1}. \] Montrer que : \[ \int_1^2 \frac{x^2}{2x-1}\,\dx = 1 + \frac{1}{8}\ln(3). \] \item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$. En vous aidant d'une intégration par parties, déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ en unité d'aire. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : généralisation} \medskip On désigne par $a$ un réel strictement positif et par $f_a$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{a}}{+\infty}$ par : \[ f_a(x) = x\ln(ax - 1). \] On admet que $f_a$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{a}}{+\infty}$. On note $f_a'$ sa fonction dérivée, $f_a''$ sa fonction dérivée seconde, et $\mathcal{C}_a$ sa représentation graphique. On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{a}}{+\infty}$ : \[ f_a''(x) = \frac{a(ax-2)}{(ax-1)^2}. \] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $a$ strictement positif, la courbe $\mathcal{C}_a$ admet un unique point d'inflexion $A_a$. \item Montrer que les points $A_a$ sont alignés, $a$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate}