% bac2025gen-poly-septembre-sujet1-exo3.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025rj1exo3a.py] def suite(k) : L = [] u = 5 for i in range(......) : L.append(u) u = ......................... return(......) \end{scontents} \begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025rj1exo3b.py] >>> suite(9) [5, 5.091042453358316, 5.131953749864703, 5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954, 5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642] \end{scontents} \begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025rj1exo3c.py] def mystere(n) : L = suite(n) c = 1 for i in range(n - 1) : if L[i] > L[i + 1] : c = 0 return c \end{scontents} \begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025rj1exo3d.py] >>> mystere(10000) 1 \end{scontents} On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1} = 2 + \ln\big(u_n^2 - 3\big). \] On admet que cette suite est bien définie. \medskip \textbf{Partie A : Exploitation de programmes Python} \smallskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le script \textsf{Python} ci-dessous pour que \AffVignette[Type=py]{suite(k)}, qui prend en paramètre un entier naturel \AffVignette[Type=py]{k}, renvoie la liste des \AffVignette[Type=py]{k} premières valeurs de la suite $\Suite{u}$. \smallskip \textbf{Remarque :} On précise que, pour tout réel strictement positif \AffVignette[Type=py]{a}, \AffVignette[Type=py]{log(a)} renvoie la valeur du logarithme népérien de \AffVignette[Type=py]{a}. \smallskip \CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center}{po2025rj1exo3a.py} % \item On a exécuté \AffVignette[Type=py]{suite(9)} ci-dessous. Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $\Suite{u}$ et l'autre sur son éventuelle convergence. \smallskip \CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center,title={{\scriptsize\faTerminal} Console Python}}{po2025rj1exo3b.py} % \item On a ensuite créé la fonction \AffVignette[Type=py]{mystere(n)} donnée ci-dessous et exécuté \AffVignette[Type=py]{mystere(1000)} ce qui a renvoyé \AffVignette[Type=py]{1}. Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $\Suite{u}$ ? Justifier. \smallskip \CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center}{po2025rj1exo3c.py} \CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center,title={{\scriptsize\faTerminal} Console Python}}{po2025rj1exo3d.py} \end{enumerate} \textbf{Partie B : Étude de la convergence de la suite $\bm{\left(u_n\right)}$} \medskip On considère la fonction $g$ définie sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ par : \[ g(x) = 2 + \ln\big(x^2 - 3\big) \] % On admet que $g$ est dérivable sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : \[ 4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 6 \] \item En déduire que la suite $\Suite{u}$ converge. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C : Étude de la valeur de la limite} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ par : \[ f(x) = 2 + \ln\big(x^2 - 3\big) - x. \] % On admet que $f$ est dérivable sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. On donne le tableau de variations de $f$ suivant. On ne demande aucune justification. \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$/1,$f(x)$/2.5}{$2$,$3$,$+\infty$} \tkzTabVar{-/$0$,+/${\ln(6)-1}$,-/$-\infty$} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha < \beta$. \item Donner la valeur exacte de $\alpha$ et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$. \end{enumerate} \item On note $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$. Justifier que $f(\ell) = 0$ et déterminer $\ell$. \end{enumerate}