% bac2025gen-poly-septembre-sujet1-exo2.tex On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle. Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant : \medskip \begin{Centrage} \begin{tblr}{width=0.95\linewidth,hlines,vlines,colspec={Q[m,l]*{4}{X[m,c]}}} Année & 2000 & 2005 & 2010 & 2015 \\ Nombre d'individus & 50 & 64 & 80 & 100 \\ \end{tblr} \end{Centrage} \medskip Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps. Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en anné, à partir de l'anné 2000. Dans son modèle, l’image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000. \medskip \textbf{Partie A. Modèle 1} \medskip Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante : \[ y' = 0,05y - 0,5 \quad \big(E_1\big) \] \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $\big(E_1\big)$ avec la condition initiale $y(0) = 50$. \item Comparer les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B. Modèle 2} \medskip Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante : \[ y' = 0,05y(1 - 0,00125y) \quad \big(E_2\big) \] % On note $f$ la fonction définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = \frac{800}{1 + 15\e^{-0,05x}} \] % et $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé. \medskip À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants. \textbf{Pour toute la suite de l'exercice, on pourra utiliser les résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.} \begin{Centrage} \begin{CalculFormelXcas}[Largeur=14,Entete=true] \LigneCalculsXcas[TailleCommande=\small,TailleResultat=\small]% {$f(x):=\frac{800}{1 + 15\e^{-0,05x}}$}% {$f(x)=\frac{800}{1 + 15\e^{-0,05x}}$} \LigneCalculsXcas[TailleCommande=\small,TailleResultat=\small]% {$f'(x):=\text{Dérivée}\left(f(x)\right)$}% {$f'(x)=\frac{600\e^{-0,05x}}{\left(1+15\e^{-0,05x}\right)^2}$} \LigneCalculsXcas[TailleCommande=\small,TailleResultat=\small]% {$f''(x):=\text{Dérivée}\left(f'(x)\right)$}% {$f'(x)=\frac{30\e^{-0,05x}}{\left(1+15\e^{-0,05x}\right)^3}\left(15\e^{-0,05x}-1\right)$} \LigneCalculsXcas[TailleCommande=\small,TailleResultat=\small]% {$\text{Résoudre}\left(15\e^{-0,05x}-1 \geqslant 0\right)$}% {$x \leqslant 20\,\ln(15)$} \end{CalculFormelXcas} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ vérifie $f(0) = 50$ et que pour tout $x \in \R$ : \[ f'(x) = 0,05\,f(x)(1 - 0,00125\,f(x)) \] % On admet que cette fonction $f$ est l'unique solution de $\big(E_2\big)$ prenant la valeur initiale de 50 en 0. \item Avec ce nouveau modèle $f$, estimer l'effectif de cette population en 2050. Arrondir le résultat à l'unité. \item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe $\mathcal{C}$ ? Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret. \item Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \item Démontrer le résultat obtenu en \textsf{ligne 4} du logiciel. \item On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$. \begin{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$. \item La direction de la réserve affirme : « Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer ». La direction a-t-elle raison ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate}