% bac2025gen-poly-juin-sujet2-exo4.tex \textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \begin{enumerate} \item Soient $E$ et $F$ les ensembles $E = \{1;2;3;4;5;6;7\}$ et $F = \{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$. \smallskip \textbf{Affirmation n°1} : Il y a davantage de 3-uplets d'éléments distincts de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$. \item Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a représenté la fonction carré, notée $f$, ainsi que le carré $ABCD$ de côté 3. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=0.5cm,y=0.5cm,Xmin=-4.5,Xmax=3.75,Ymin=0,Ymax=10] \fill[blue!5] (0,0) rectangle (3,3) ; \TracerAxesGrilles[Grille=false,Derriere]{}{} \DefinirCourbe[Nom=cf]< f >{x^2} \TracerIntegrale[Couleurs=darkgray/gray,Style=hachures]{f(x)}{0}{3} \TracerCourbe[Couleur=red]{f(x)} \TracerAxesGrilles[Grille=false,Devant,Police=\footnotesize]{-4,-3,...,3}{1,2,...,9} \draw[pflcourbe,blue] (0,0) rectangle (3,3) ; \draw (0,0) node[blue,inner sep=1pt,below left,font=\footnotesize] {$A$} ; \draw (3,0) node[blue,inner sep=1pt,below right,font=\footnotesize] {$B$} ; \draw (3,3) node[blue,inner sep=1pt,above right,font=\footnotesize] {$C$} ; \draw (0,3) node[blue,inner sep=1pt,above left,font=\footnotesize] {$D$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \textbf{Affirmation n°2} : La zone hachurée et le carré $ABCD$ ont la même aire. \item On considère l'intégrale $J$ ci-dessous : \[ J = \int_{1}^{2} x \ln (x) \dx. \] \textbf{Affirmation n°3} : Une intégration par parties permet d'obtenir : $J = \dfrac{7}{11}$. \item Sur $\R$, on considère l'équation différentielle \[ (E)~:~y^{\prime} = 2y - \e^{x}. \] \textbf{Affirmation n°4} : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \e^{x} + \e^{2x}$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \item Soit $x$ donné dans $\IntervalleFO{0}{1}$. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ u_{n} = (x-1) \e^{n} + \cos (n). \] \textbf{Affirmation n°5} : La suite $\left(u_{n}\right)$ diverge vers $-\infty$. \end{enumerate}