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% bac2025gen-poly-juin-sujet2-exo3.tex L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$. On considère les points suivants : \[ A(1; 3; 0), \quad B(-1; 4; 5), \quad C(0; 1; 0) \quad \text{et} \quad D(-2; 2; 1) \] % \begin{enumerate} \item Montrer que les points $A, B$ et $C$ déterminent un plan. \item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. \item Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$. \item Justifier que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne : \[ 2x - y + z + 1 = 0.\] \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item On appelle $H$ le point de coordonnées $\left(-\frac{2}{3}; \frac{4}{3}; \frac{5}{3}\right)$. Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$. \item On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3} B \times h$, où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est sa hauteur relative à cette base. \begin{enumerate} \item Montrer que $DH = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$. \item En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$. \end{enumerate} \item On considère la droite $d$ de représentation paramétrique : \[ \begin{cases} x = 1 - 2k \\ y = -3k \\ z = 1 + k \end{cases}~\text{ où } k \text{ décrit } \R. \] % La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles? \end{enumerate}
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