% bac2025gen-poly-juin-sujet2-exo2.tex On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ par \[ f(x) = x \ln (x-2).\] Une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.2cm,Xmin=0,Xmax=8.75,Ymin=-17,Ymax=17,Ygrille=5] \TracerAxesGrilles[Grille=false]{auto}{-15,-10,...,15} \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=2.001,Pas=0.01]{x*ln(x-2)} \PlacerTexte[Couleur=red]{(7.75,15)}{$\mathcal{C}_{f}$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Conjecturer, à l'aide du graphique, le sens de variation de $f$, ses limites aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les éventuelles asymptotes. \item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$. \item Calculer $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x > 2}} f(x)$. Ce résultat confirme-t-il l'une des conjectures faites à la question 1.? \item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ : \[ f^{\prime}(x) = \ln (x-2) + \frac{x}{x-2}. \] \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ par $g(x) = f^{\prime}(x)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{2}{+\infty}$, on a : \[ g^{\prime}(x) = \frac{x-4}{(x-2)^{2}}. \] \item On admet que $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 2 \\ x > 2}} g(x) = +\infty$ et que $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. En déduire le tableau des variations de la fonction $g$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$. On fera apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $g$. \item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{2}{+\infty}$, $g(x) > 0$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$. \end{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{2}{+\infty}$ et préciser les coordonnées d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de la fonction $f$. \item Combien de valeurs de $x$ existe-t-il pour lesquelles la courbe représentative de $f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3? \end{enumerate}