% bac2025gen-poly-juin-sujet2-exo1.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025j2exo1.py] def simulation(n): donnee = 1 liste = [donnee] for k in range(n): if rand() < 0.1: donnee = 1 - donnee liste.append(donnee) return liste \end{scontents} Dans tout l'exercice, les probabilités seront, si nécessaire, arrondies à $10^{-3}$ près. \smallskip Une donnée binaire est une donnée qui ne peut prendre que deux valeurs: 0 ou 1. Une donnée de ce type est transmise successivement d'une machine à une autre. Chaque machine transmet la donnée reçue soit de manière fidèle, c'est-à-dire en transmettant l'information telle qu'elle l'a reçue (1 devient 1 et 0 devient 0), soit de façon contraire (1 devient 0 et 0 devient 1). La transmission est fidèle dans $90\,\%$ des cas, et donc contraire dans $10\,\%$ des cas. Dans tout l'exercice, la première machine reçoit toujours la valeur 1. \textbf{Partie A} Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note : \begin{itemize} \item $V_{n}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 1 »; \item $\overline{V_{n}}$ l'évènement : « la $n$-ième machine détient la valeur 0 ». \end{itemize} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous. \begin{Centrage} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] % Styles (MODIFIABLES) \tikzstyle{fleche}=[semithick] \tikzstyle{noeud}=[] \tikzstyle{feuille}=[] \tikzstyle{etiquette}=[midway,sloped] \def\DistanceInterNiveaux{3} \def\DistanceInterFeuilles{2} \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(1.25)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(-0.75)*\DistanceInterFeuilles} \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$V_1$}; \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$V_2$}; \node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$V_3$}; \node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{V_3}$}; \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{V_2}$}; \node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$V_3$}; \node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{V_3}$}; \draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette,above] {\numdots}; \draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette,above] {\numdots}; \draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette,below] {\numdots}; \draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette,below] {\numdots}; \draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette,above] {\numdots}; \draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette,below] {\numdots}; \end{tikzpicture} \end{Centrage} \item Démontrer que $P\left(V_{3}\right)=0,82$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item Sachant que la troisième machine a reçu la valeur 1, calculer la probabilité que la deuxième machine ait aussi reçu la valeur 1. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note $p_{n}=P\left(V_{n}\right)$. La première machine a reçu la valeur 1, on a donc $p_{1}=1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ : \[ p_{n+1}=0,8 p_{n}+0,1. \] \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[ p_{n}=0,5 \times 0,8^{n-1}+0,5. \] \item Calculer la limite de $p_{n}$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} Pour modéliser en langage \textsf{Python} la transmission de la donnée binaire décrite en début d'exercice, on considère la fonction \AffVignette[Type=py]{simulation} qui prend en paramètre un entier naturel \AffVignette[Type=py]{n} qui représente le nombre de transmissions réalisées d'une machine à une autre, et qui renvoie la liste des valeurs successives de la donnée binaire. On donne ci-dessous le script incomplet de cette fonction. On rappelle que l'instruction \AffVignette[Type=py]{rand()} renvoie un nombre aléatoire de l'intervalle $\IntervalleFO{0}{1}$. \smallskip \CodePythonLstFichierAlt[12cm]{center}{po2025j2exo1.py} \smallskip Par exemple, \AffVignette[Type=py]{simulation(3)} peut renvoyer \AffVignette[Type=py]{[1, 0, 0, 1]}. Cette liste traduit : \begin{itemize} \item qu'une donnée binaire a été successivement transmise trois fois entre quatre machines ; \item la première machine qui détient la valeur 1 a transmis de façon contraire cette donnée à la deuxième machine ; \item la deuxième machine a transmis la donnée qu'elle détient de façon fidèle à la troisième ; \item la troisième machine a transmis de façon contraire la donnée qu'elle détient à la quatrième. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Déterminer le rôle des instructions des lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessus. \item Calculer la probabilité que \texttt{simulation(4)} renvoie la liste \AffVignette[Type=py]{[1, 1, 1, 1, 1]} et la probabilité que \AffVignette[Type=py]{simulation(6)} renvoie la liste \AffVignette[Type=py]{[1, 0, 1, 0, 0, 1, 1]}. \end{enumerate}