% bac2025gen-poly-juin-sujet1-exo3.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=po2025j1exo3.py] from math import e def mystere(n): I = 1 - 1 / e L = [I] for i in range(n) : I = (i + 1) * I - 1 / e L.append(I) return L \end{scontents} On munit le plan d'un repère orthonormé. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f_{0}(x) = \e^{-x} \text{ et, pour } n \geqslant 1,~f_{n}(x) = x^{n} \e^{-x}. \] % Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la courbe représentative de la fonction $f_{n}$. \smallskip \textit{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A : Étude des fonctions $\bm{f_{n}}$ pour $\bm{n \geqslant 1}$} \medskip On considère un entier naturel $n \geqslant 1$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $f_{n}$ est dérivable sur $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. Montrer que pour tout $x \geqslant 0$, \[ f_{n}^{\prime}(x) = (n - x) x^{n-1} \e^{-x}. \] \item Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous : \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$/1,${f_{n}^{\prime}(x)}$/1,$f_{n}$/2}{$0$,$n$,$+\infty$} \tkzTabLine{,+,z,-,} \tkzTabVar{-/$0$,+/${\left(\dfrac{n}{\e}\right)}^{n}$,-/$0$} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \end{enumerate} \item Justifier par le calcul que le point $A\left(1; \e^{-1}\right)$ appartient à la courbe $C_{n}$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B : Étude des intégrales $\bm{\int_{0}^{1} f_{n}(x) \text{d}x}$ pour $\bm{n \geqslant 0}$} \medskip Dans cette partie, on étudie les fonctions $f_{n}$ sur $[0; 1]$ et on considère la suite $\left(I_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ I_{n} = \int_{0}^{1} f_{n}(x) \dx = \int_{0}^{1} x^{n} \e^{-x} \dx. \] \begin{enumerate} \item Sur le graphique en ANNEXE on a représenté les courbes $C_{0}$, $C_{1}$, $C_{2}$, $C_{10}$ et $C_{100}$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de $I_{n}$. \item Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \item Calculer $I_{0}$. \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que pour tout $x \in [0; 1]$, \[ 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^{n}. \] \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 0 \leqslant I_{n+1} \leqslant I_{n}. \] \end{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente, vers une limite positive ou nulle que l'on notera $\ell$. \item En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : \[ I_{n+1} = (n+1) I_{n} - \frac{1}{\e}. \] \item \begin{enumerate} \item Démontrer que si $\ell > 0$, l'égalité de la question \textbf{5.} conduit à une contradiction. \item Démontrer que $\ell = 0$. On pourra utiliser la question \textbf{6.a.}. \end{enumerate} \end{enumerate} On donne ci-dessous le script de la fonction \AffVignette[Type=py]{mystere}, écrite en langage \textsf{Python}. On a importé la constante $\e$. \CodePythonLstFichierAlt*[12cm]{center}{po2025j1exo3.py} \begin{enumerate}[resume] \item Que renvoie \AffVignette[Type=py]{mystere(100)} dans le contexte de l'exercice? \end{enumerate}