% bac2025gen-poly-juin-sujet1-exo2.tex Deux avions sont en approche d'un aéroport. On munit l'espace d'un repère orthonormé $\Rijk$ dont l'origine $O$ est le pied de la tour de contrôle, et le sol est le plan $P_{0}$ d'équation $z=0$. L'unité des axes correspond à 1~km. On modélise les avions par des points. \begin{Centrage} \begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-5:0.65cm},UniteY={20:0.3cm},UniteZ={90:0.7cm}] %plan (xOy) \fill[opacity=0.175,lightgray] (-8,-6,0)--(-8,7.75,0)--(6,7.75,0)--(6,-6,0)--cycle ; %O \draw (0,0,-0.25) node[below left,inner sep=1pt] {$O$} ; %axe (Ox) \draw[->,>=latex,line width=0.9pt] (-10,0,0)--(7,0,0) node[below] {$x$} ; \foreach \x in {-8,-6,-4,-2,2,4,6}{% \filldraw (\x,0,0) circle[radius=1.8pt] node[below=1.25pt,scale=0.66] {$\x$} ; } %axe (Oy) \draw[->,>=latex,line width=0.9pt] (0,-8,0)--(0,9,0) node[above] {$y$} ; \foreach \y in {-8,-6,-4,-2,2,4,6,8}{% \filldraw (0,\y,0) circle[radius=1.8pt] node[above left=1.25pt,scale=0.66,inner sep=0.15pt] {$\y$} ; } %axe (Oz) \draw[->,>=latex,line width=0.9pt] (0,0,-3)--(0,0,7) node[right] {$z$} ; \foreach \z in {-2,2,4,6}{% \filldraw (0,0,\z) circle[radius=1.8pt] node[left=1.25pt,scale=0.66] {$\z$} ; } %droite dB \filldraw[red] (-4.93,-3.79,6.15) circle[radius=1.8pt] node[below left] {$B$} ; \draw[red] (-4.02,-3.6,5.41) node[inner sep=1.25pt,below left] {$d_{B}$} ; \draw[ultra thick,red] (-5.68,-3.94,6.74)--(2.74,-2.25,0.01) ; \draw[ultra thick,dashed,red] (2.74,-2.25,0.01)--(4.36,-1.93,-1.29) ; \draw[ultra thick,red] (4.36,-1.93,-1.29)--(5.16,-1.77,-1.93) ; %droite dA \filldraw[blue] (-6.13,0.57,5.7) circle[radius=1.8pt] node[above right] {$A$} ; \draw[blue] (-5.52,0.26,4.78) node[inner sep=1.25pt,above right] {$d_{A}$} ; \draw[ultra thick,blue] (-6.51,0.76,6.27)--(-2.33,-1.34,-0.01) ; \draw[ultra thick,dashed,blue] (-2.33,-1.34,-0.01)--(-1.46,-1.77,-1.31) ; \draw[ultra thick,blue] (-1.46,-1.77,-1.31)--(-0.96,-2.02,-2.06) ; \end{EnvTikzEspace} \end{Centrage} L'avion Alpha transmet à la tour sa position en $A(-7; 1; 7)$ et sa trajectoire est dirigée par le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$. L'avion Bêta transmet une trajectoire définie par la droite $d_{B}$ passant par le point $B$ dont une représentation paramétrique est : \[ \begin{cases} x = -11 + 5t \\ y = -5 + t \\ z = 11 - 4t \end{cases}~\text{ où } t \text{ décrit } \R.\] \begin{enumerate} \item S'il ne dévie pas de sa trajectoire, déterminer les coordonnées du point $S$ en lequel l'avion Bêta touchera le sol. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_{A}$ caractérisant la trajectoire de l'avion Alpha. \item Les deux avions peuvent-ils entrer en collision? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que l'avion Alpha passe par la position $E(-3; -1; 1)$. \item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $P_{E}$ passant par $E$ et perpendiculaire à la droite $d_{A}$ est : \[ 2x - y - 3z + 8 = 0. \] \item Vérifier que le point $F(-1; -3; 3)$ est le point d'intersection du plan $P_{E}$ et de la droite $d_{B}$. \item Calculer la valeur exacte de la distance $EF$, puis vérifier que cela correspond à une distance de \num{3464}~m, à 1~m près. \end{enumerate} \item La réglementation aérienne stipule que deux avions en approche doivent être à tout instant à au moins 3 milles nautiques l'un de l'autre (1 mille nautique vaut \num{1852}~m). Si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en $E$ et $F$ au même instant, leur distance de sécurité est-elle respectée? \end{enumerate}