% bac2025gen-nouvcal-novembre-sujet2-exo4.tex On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{2}}+1. \] % On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. \smallskip On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ et on note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$. En déduire les éventuelles asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_{f}$. \item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, on a : \[ f^{\prime}(x)=\frac{1-2 \ln (x)}{x^{3}}. \] \item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. \item Donner un encadrement du réel $\alpha$ d'amplitude $0,01$. \item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ g(x)=\ln (x). \] % On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé d'origine $O$. On considère un réel $x$ strictement positif et le point $M$ de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $x$. On note $OM$ la distance entre les points $O$ et $M$. \begin{wrapstuff}[r] \begin{GraphiqueTikz}[x=1.1cm,y=2.17cm,Xmin=-1,Xmax=4.5,Ymin=-1,Ymax=1.5] \def\valx{2.1} \TracerAxesGrilles[Grille=false]{}{} \DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0.1,Trace,Couleur=red]<f>{ln(x)} \draw[pfltraitantec] (\valx,0) node[below] {$x$} -- (\valx,{ln(\valx)}) node[above left] {$M$} ; \MarquerPts*[Style=+]{(\valx,{ln(\valx)})} \draw[line width=0.9pt] (\valx,{ln(\valx)}) -- (0,0) node[below left] {$O$}; \PlacerTexte[Couleur=red,Position=above left]{(3.25,{ln(3.25)})}{$\mathcal{C}_{g}$} \end{GraphiqueTikz} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item Exprimer la quantité $OM^{2}$ en fonction du réel $x$. \item Montrer que, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, la quantité $OM^{2}$ admet un minimum en $\alpha$. \item La valeur minimale de la distance OM, lorsque le réel $x$ parcourt l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, est appelée \emph{distance du point O à la courbe $\mathcal{C}_{g}$}. On note $d$ cette distance. \smallskip Exprimer $d$ à l'aide de $\alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate}