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% bac2025gen-nouvcal-novembre-sujet1-exo4.tex \textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse}, en \textbf{justifiant} la réponse.\\Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.\\Une absence de réponse n’enlève pas de points.} \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par :% \[ f(x) = \ln(x) - x^2.\] \textbf{Affirmation 1} : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. \medskip \item On considère l'équation différentielle $(E)~:~-2 y' + 3 y = \sin(x) + 8\cos(x)$. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x) = 2 \cos(x) - \sin(x).\] \textbf{Affirmation 2} : La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \medskip \item On considère la fonction $g$, définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ g(x) = \ln(3x + 1) + 8.\] % On considère la suite $\Suite{u}$ définie par $u_0 = 25$ et pour tout entier naturel $n$,% \[ u_{n+1} = g\big(u_n\big).\] On admet que la suite $\Suite{u}$ est strictement positive. \textbf{Affirmation 3} : La suite $\Suite{u}$ est décroissante. \medskip \item On considère une fonction affine $h$ définie sur $\R$. On note $k$ la fonction définie sur $\R$ par $k(x) = x^4 + x^2 + h(x)$. \textbf{Affirmation 4} : La fonction $k$ est convexe sur $\R$. \medskip \item Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot. Exemple : le mot BAC possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA. \textbf{Affirmation 5} : Le mot EULER possède 120 anagrammes. \end{enumerate}
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