% bac2025gen-nouvcal-novembre-sujet1-exo3.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=nouvcal2025j1exo3.py] from math import exp def suite() : u = ... for n in range(1, ...) : u = ... return u \end{scontents} On considère $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ f_n(x) = x^n\,\e^{1-x}.\] % On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $\IntervalleFF{0}{1}$ et on note $f_n'$ sa fonction dérivée. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on étudie le cas où $n = 1$. On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\IntervalleFF{0}{1}$ par : \[ f_1(x) = x\,\e^{1-x}.\] % \begin{enumerate} \item Montrer que $f_1'(x)$ est strictement positif pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleFO{0}{1}$. \item En déduire le tableau de variations de la fonction $f_1$ sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$. \item En déduire que l'équation $f_1(x) = 0,1$ admet une unique solution dans l'intervalle $\IntervalleFF{0}{1}$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\Suite{u}$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par \[ u_n = \int_0^1 f_n(x) \dx \quad \text{c'est-à-dire} \quad u_n = \int_0^1 x^n\,\e^{1-x} \dx.\] % On admet que $u_1 = \e - 2$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout $x \in \IntervalleFF{0}{1}$ et pour tout entier naturel $n$ non nul,% \[ 0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n. \] \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul,% \[ 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\] \item Montrer que la suite $\Suite{u}$ est convergente. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :% \[ u_{n+1} = (n+1) u_n - 1.\] \item On considère le script \textsf{Python} ci-dessous définissant la fonction \AffVignette[Type=py]{suite()} : \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{nouvcal2025j1exo3.py} Recopier et compléter le script \textsf{Python} ci-dessus pour que la fonction \AffVignette[Type=py]{suite()} renvoie la valeur de $\displaystyle\int_0^1 x^8\,\e^{1-x} \dx$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a :% \[ u_n \leqslant \frac{\e}{n+1}.\] \item En déduire la limite de la suite $\Suite{u}$. \end{enumerate} \end{enumerate}