% bac2025gen-fr-septembre-sujet2-exo4.tex L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$. On considère les points $A(4 ;-1 ; 3)$, $B(-1 ; 1 ;-2)$, $C(0 ; 4 ; 5)$ et $D(-3 ;-4 ; 6)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés. \end{enumerate} On admet qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $29 x+30 y-17 z=35$. \begin{enumerate}[resume] \item Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils coplanaires? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points. L'objectif de cet exercice est de déterminer le point H se situant à égale distance des quatre points $A$, $B$, $C$, $D$. \smallskip On définit le plan médiateur d'un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. \begin{enumerate}[resume] \item Soit $P_{1}$ le plan médiateur du segment $[A B]$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du milieu du segment $[AB]$. \item En déduire qu'une équation cartésienne de $P_{1}$ est : $5 x-2 y+5 z=10$. \end{enumerate} \item On note $P_{2}$ le plan médiateur du segment $[CD]$. \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point du plan $P_{2}$ de coordonnées $(x ; y ; z)$. Exprimer $MC^{2}$ et $MD^{2}$ en fonction des coordonnées de $M$. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $P_{2}$ est : $-3 x-8 y+z=10$. \item Justifier que les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants. \end{enumerate} \item Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : \[ \begin{cases} x=-2-1,9 t \\ y=t \\ z=4+2,3 t \end{cases} \text{où } t \in \R. \] % Démontrer que $\Delta$ est la droite d'intersection de $P_{1}$ et $P_{2}$. \end{enumerate} On note $P_{3}$ le plan médiateur du segment $[AC]$. On admet qu'une équation cartésienne du plan $P_{3}$ est : $8 x-10 y-4 z=-15$. \begin{enumerate}[resume] \item Démontrer que la droite $\Delta$ et le plan $P_{3}$ sont sécants. \item Justifier que le point d'intersection entre $\Delta$ et $P_{3}$ est le point $H$. \end{enumerate}