% bac2025gen-fr-septembre-sujet2-exo3.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=fr2025rj2exo3.py] from math import * def A(x) : return 10 * log(-1 * x**2 + 7*x + 9) def pluspetitevaleur(k) : x = 3.5 while A(x) ............ : x = x + 0.1 return ............. \end{scontents} On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleOF{0}{8}$ par \[ f(x)=\frac{10 \ln \left(-x^{2}+7 x+9\right)}{x}. \] % Soit $C_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Rij$. \medskip \textbf{Partie A} \smallskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $-x^{2}+7 x+8 \geqslant 0$. \item En déduire que pour tout $x \in \IntervalleOF{0}{8}$, on a $f(x) \geqslant 0$. \item Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip La courbe $C_{f}$ est représentée ci-dessous. Soit $M$ le point de $C_{f}$ d'abscisse $x$ avec $x \in \IntervalleOF{0}{8}$. On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées. Dans cette partie, on s'intéresse à l'aire $A(x)$ du rectangle $ONMP$. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.9cm,Xmin=0,Xmax=8.3,Xgrille=1,Xgrilles=0.2,Ymin=0,Ymax=9.8,Ygrille=1,Ygrilles=0.2] \TracerAxesGrilles[Police=\footnotesize]{1,...,8}{1,...,9} \DefinirCourbe[Debut=2,Fin=8]<f>{10*ln(-x^2+7*x+9)/x} \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=2,Fin=8]{f(x)} %rectangle \draw[very thick,fill=orange,fill opacity=0.125] (6.8,0) rectangle++(-0.4,0.4) ; \draw[very thick,fill=orange,fill opacity=0.125] (0,{\xintfloateval{f(6.8)}}) rectangle++(0.4,-0.4) ; \draw[very thick,fill=blue,fill opacity=0.125] (0,0) rectangle (6.8,{\xintfloateval{f(6.8)}}) ; %labels \MarquerPts[Couleur=black]{(6.8,{\xintfloateval{f(6.8)}})/M/above right} \PlacerTexte[Couleur=red,Police=\large]{(4.25,8.25)}{$C_f$} \PlacerTexte[Couleur=blue,Position=left]{(0,{\xintfloateval{f(6.8)}})}{$P$} \PlacerTexte[Couleur=blue,Position=below left]{(6.8,0)}{$N$} \PlacerTexte[Couleur=blue,Position=below left]{(0,0)}{$O$} \draw[very thick,->,>=latex] (0,0)--++(1,0) node[midway,below,font=\footnotesize] {$\vec{\imath}$} ; \draw[very thick,->,>=latex] (0,0)--++(0,1) node[midway,left,font=\footnotesize] {$\vec{\jmath}$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points N et P en fonction de $x$. \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleOF{0}{8}$, \[ A(x)=10 \ln \left(-x^{2}+7 x+9\right). \] \item Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l'aire du rectangle $ONMP$ est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C} \medskip On considère un réel strictement positif $k$. On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$, approchée au dixième, appartenant à $\IntervalleFF{3.5}{8}$ pour laquelle l'aire $A(x)$ devient inférieure ou égale à $k$. Pour ce faire, on considère l'algorithme ci-dessous. Pour rappel, en langage \AffVignette[Type=py]{Python}, \AffVignette[Type=py]{ln(x)} s'écrit \AffVignette[Type=py]{log(x)}. \CodePythonLstFichierAlt[10cm]{center}{fr2025rj2exo3.py} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter les lignes \texttt{8} et \texttt{10} de l'algorithme. \item Quel nombre renvoie alors l'instruction \AffVignette[Type=py]{pluspetitevaleur(30)} ? \item Que se passe-t-il lorsque \AffVignette[Type=py]{k} vaut \AffVignette[Type=py]{35} ? Justifier. \end{enumerate}