% bac2025gen-fr-septembre-sujet2-exo1.tex El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser l'apparition de ce phénomène. \medskip \hfill{}\textit{Dans cet exercice, les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.}\hfill\null \medskip \textbf{Partie A - Premier modèle} \medskip À partir d'un échantillon de données, on considère une première modélisation : \begin{itemize} \item chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $0,4$ ; \item la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d'une année sur l'autre. \end{itemize} On note $X$ la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant. \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années. \item Calculer $P(X \leqslant 2)$. Que signifie ce résultat dans le contexte de l'exercice ? \end{enumerate} \item Calculer $\Esper{X}$. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B - Second modèle} \medskip Après une étude d'un recueil de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparaît plus pertinente : \begin{itemize} \item si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est $0,5$ ; \item par contre, si le phénomène El Niño n'est pas dominant une année, alors la probabilité qu'il soit dominant l'année suivante est $0,3$. \end{itemize} On considère que l'année de référence est 2023. On note pour tout entier naturel $n$ : \begin{itemize} \item $E_{n}$ l'événement « le phénomène El Niño est dominant l'année $2023+n$ » ; \item $p_{n}$ la probabilité de l'événement $E_{n}$. \end{itemize} En 2023, El Niño n'était pas dominant. On a ainsi $p_{0}=0$. \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant : \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,InclineProbas=false]{% $E_{n}$/$p_{n}$/,$E_{n+1}$/\numdots/,$\overline{E_{n+1}}$/\numdots/, $\overline{E_{n}}$/\numdots/,$E_{n+1}$/\numdots/,$\overline{E_{n+1}}$/\numdots/% } \end{Centrage} \item Justifier que $p_{1}=0,3$. \item En vous aidant de l'arbre, montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ p_{n+1}=0,2 p_{n}+0,3. \] \end{enumerate} On cherche à prévoir l'évolution de l'apparition du phénomène El Niño. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $\left(p_{n}\right)$. \item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $p_{n} \leqslant \frac{3}{8}$. \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(p_{n}\right)$. \item En déduire la convergence de la suite $\left(p_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} On cherche à déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. \begin{enumerate}[resume] \item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=p_{n}-\frac{3}{8}$ pour tout entier naturel $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,2$ et préciser son premier terme. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $p_{n}=\frac{3}{8}\left(1-0,2^{n}\right)$. \item Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}