% bac2025gen-fr-septembre-sujet1-exo3.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=fr2025rj1exo3.py] from math import * def rang(a) : u = 6 n = 0 while u >= a : u = sqrt(3*u - 2) n = n + 1 return n \end{scontents} Le but de cet exercice est d'étudier les convergences de deux suites vers une même limite. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ par $f(x)=\sqrt{3 x-2}$. \begin{enumerate} \item Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous : \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{$2$,$+\infty$} \tkzTabVar{-/$2$,+/$-\infty$} \end{tikzpicture} \end{Centrage} On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ vérifiant $u_{0}=6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ est bien définie. \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel : $2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 6$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \end{enumerate} \item On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_{n}\right)$. On admet qu'elle est solution de l'équation $f(x)=x$. Déterminer la valeur de $\ell$. \item On considère la fonction \AffVignette[Type=py]{rang} écrite ci-dessous en langage \AffVignette[Type=py]{Python}. \CodePythonLstFichierAlt[8cm]{center}{fr2025rj1exo3.py} \begin{enumerate} \item Pourquoi peut-on affirmer que \AffVignette[Type=py]{rang(2.000001)} renvoie une valeur ? \item Pour quelles valeurs du paramètre \AffVignette[Type=py]{a} l'instruction \AffVignette[Type=py]{rang(a)} renvoie-t-elle un résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ vérifiant $v_{0}=6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $v_{n+1}=3-\frac{2}{v_{n}}$ est bien définie. \begin{enumerate} \item Calculer $v_{1}$. \item Pour tout $n$ entier naturel, on admet que $v_{n} \neq 2$ et on pose : \[ w_{n}=\frac{v_{n}-1}{v_{n}-2}. \] \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme $w_{0}$. \item On admet que, pour tout $n$ entier naturel, \[ w_{n}-1=\frac{1}{v_{n}-2}. \] % En déduire que, pour tout $n$ entier naturel, \[ v_{n}=2+\frac{1}{1,25 \times 2^{n}-1}. \] \item Calculer la limite de $\left(v_{n}\right)$. \end{enumerate} \item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $v_{n} < 2,01$ en résolvant l'inéquation. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip À l'aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout $n \geqslant N$, les termes $v_{n}$ et $u_{n}$ appartiennent à l'intervalle $\IntervalleOO{1,99}{2,01}$.