% bac2025gen-fr-septembre-sujet1-exo1.tex \textbf{Partie A} On considère l'équation différentielle \[ (E)~:~y^{\prime}+0,4 y=\e^{-0,4 t}. \] % où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$. \smallskip On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur $\R$ qui sont solutions de cette équation. \begin{enumerate} \item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par : $u(t)=t\,e^{-0,4 t}$. Vérifier que $u$ est solution de $(E)$. \item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(t)=f(t)-u(t)$. \smallskip Soit $(H)$ l'équation différentielle $y^{\prime}+0,4 y=0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que si la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ alors la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. \end{enumerate} On admettra que la réciproque est vraie. \begin{enumerate}[resume] \item Résoudre l'équation différentielle $(H)$. \item En déduire les solutions de $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas. \smallskip La glycémie en g.L$^{-1}$, en fonction du temps $t$, exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\IntervalleFF{0}{6}$ par : \[ f(t)=(t+1) \e^{-0,4 t}. \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $t \in \IntervalleFF{0}{6}$, $f^{\prime}(t)=(-0,4 t+0,6) \e^{-0,4 t}$. \item Étudier les variations de $f$ sur $\IntervalleFF{0}{6}$ puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle. \end{enumerate} \item Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à $0,7~\mathrm{g}.\mathrm{L}^{-1}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{6}$ l'équation $f(t)=0,7$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$. \item Au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est-elle en hypoglycémie ? On exprimera ce temps à la minute près. \end{enumerate} \item On souhaite déterminer la glycémie moyenne en g.L$^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : \[ \int_{0}^{6} f(t) \dx[t] = -23,75 \e^{-2,4}+8,75.\] \item Calculer la glycémie moyenne en g.L$^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas. \item En remarquant que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$, expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement. \end{enumerate} \end{enumerate}