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% bac2025gen-fr-juin-sujet2-exo3.tex \textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \begin{enumerate} \item La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n}=\dfrac{1+5^{n}}{2+3^{n}}.\] % \textbf{Affirmation 1 :} La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\dfrac{5}{3}$. \item On considère la suite $(w_{n})$ définie par : \[ w_{0}=0 \text{ et, pour tout entier naturel },~w_{n+1}=3 w_{n}-2 n+3. \] % \textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier naturel $n$, $ w_{n} \geqslant n$. \item On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, dont la courbe représentative $C_{f}$ est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (\textsf{Fig. 1}). On précise que : \begin{itemize} \item $T$ est la tangente à $C_{f}$ au point A d'abscisse $8$ ; \item l'axe des abscisses est la tangente horizontale à $C_{f}$ au point d'abscisse 1. \end{itemize} \begin{Centrage}%en test... \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-0.8,Xmax=12.8,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-0.8,Ymax=9,Ygrille=1,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles[Origine]{1}{1} %\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=blue]< t >{0.52425*(x-8)+4.3775} %\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=red,Debut=0.001,Pas=0.01]< f >{-1.366*ln(x)-0.048*x^(2)+1.463*x-1.414} \DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=blue]< t >{0.52*(x-8)+4.35} \DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=red,Debut=0.1,Pas=0.01]< f >{2.1272*ln(x)+0.2918*x-2.711+2.4191/x} \DefinirImage[Nom=IMGf]{f}{8} \MarquerPts{(IMGf)/$A$/above} \PlacerTexte[Couleur=red]{(12.5,6)}{$C_{f}$} \PlacerTexte[Couleur=blue]{(12.5,7)}{$T$} \end{GraphiqueTikz} \textsf{Fig. 1} \end{Centrage} \textbf{Affirmation 3 :} D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble de définition. \item \textbf{Affirmation 4 :} Pour tout réel $x>0$, $\ln (x)-x+1 \leqslant 0$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \end{enumerate}
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