% bac2025gen-fr-juin-sujet2-exo1.tex \textit{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.} \medskip Dans cet exercice, on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours d'un week-end. Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire. \begin{center}\textbf{Partie A}\end{center} Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller composée de deux séances de cours. On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule. \medskip On désigne par $A$ et $B$ les évènements suivants : \begin{itemize} \item $A$ : \og La personne chute pendant la première séance \fg{}: \item $B$ : \og La personne chute pendant la deuxième séance \fg{}. \end{itemize} Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son évènement contraire. \medskip Des observations permettent d'admettre que $P(A)=0,6$. \medskip De plus on constate que : \begin{itemize} \item Si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,3$ ; \item Si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,4$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un arbre pondéré. \item Calculer la probabilité $P\big(\overline{A} \cap \overline{B}\big)$ et interpréter le résultat. \item Montrer que $P(B)=0,34$. \item La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours. Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance. \item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance. On assimile le choix d'un échantillon de 100 personnes à un tirage avec remise. On admet que la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de $0,24$. \begin{enumerate} \item Montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de 100 personnes ayant souscrit à la formule, au moins 20 personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ? \item Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center}\textbf{Partie B}\end{center} On choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisports. On note $T_{1}$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi, et $T_{2}$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du dimanche. On admet que : \begin{itemize} \item $T_{1}$ suit une loi de probabilité d'espérance $\Esper{T_{1}}=40$ et d'écart-type $\sigma\left(T_{1}\right)=10$ ; \item $T_{2}$ suit une loi de probabilité d'espérance $\Esper{T_{2}}=60$ et d'écart-type $\sigma\left(T_{2}\right)=16$ ; \item les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes. \end{itemize} On note $T$ la variable aléatoire donnant le temps total d'attente avant les accès aux activités sportives lors des deux jours, exprimé en minute. Ainsi on a $T=T_{1}+T_{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'espérance $\Esper{T}$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \item Montrer que la variance $\Varianc{T}$ de la variable aléatoire $T$ est égale à 356. \item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour une personne choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilité que son temps total d'attente $T$ soit strictement compris entre 60 et 140 minutes est supérieure à $0,77$. \end{enumerate}