% bac2025gen-fr-juin-sujet1-exo2.tex On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. On admet qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée et $f^{\prime \prime}$ sa fonction dérivée seconde. \smallskip Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous : \begin{itemize} \item la courbe représentative de $f$, notée $C_{f}$, sur l'intervalle $\IntervalleOF{0}{3}$ ; \item la droite $T_{A}$, tangente à $C_{f}$ au point $A(1; 2)$; \item la droite $T_{B}$, tangente à $C_{f}$ au point $B(\e;\e)$. \end{itemize} On précise par ailleurs que la tangente $T_{A}$ passe par le point $C(3; 0)$. \begin{center} \begin{GraphiqueTikz}[x=4.25cm,y=2.75cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.25,Xgrille=0.2,Xgrilles=0.2,Ymin=-0.85,Ymax=3.5,Ygrille=1,Ygrilles=1] %préparation de la fenêtre \TracerAxesGrilles[Derriere,Police=\small,Origine]{0.2}{1} \draw ([yshift={-\pflthickgrad}]{1},{0}) node[pflnoeud,below left,font={\useKV[GraphiqueTikzAxes]{Police}}] {1} ; %déf des fonctions avec nom courbe + nom fonction + expression (tracés à la fin !) \DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0.0005,Fin=3]< f >{x*(2*(ln(x))^2-3*ln(x)+2)} \DefinirCourbe[Nom=tb]< tb >{2*x-exp(1)} \DefinirCourbe[Nom=ta]< ta >{-x+3} %intégrale sous une courbe, avec intersection \TracerIntegrale[Couleurs=darkgray,Bornes=abs,Style=hachures,Type=fct/fct]{f(x)}[tb(x)]{1}{exp(1)} %tracé des courbes et des labels \TracerAsymptote[StyleTrace=densely dashed,Couleur=darkgray]{1} \TracerAsymptote[StyleTrace=densely dashed,Couleur=darkgray]{exp(1)} \TracerCourbe[Couleur=violet]{ta(x)} \TracerCourbe[Couleur=blue]{tb(x)} \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0.0005,Fin=3]{f(x)} \MarquerPts{(1,2)/A/above right,({exp(1)},{exp(1)})/B/above left,(3,0)/C/below left} \PlacerTexte[Couleur=red]{(0.2,2.6)}{$C_{f}$} \PlacerTexte[Couleur=violet]{(-0.1,3.25)}{$T_{A}$} \PlacerTexte[Couleur=blue]{(3.1,3.25)}{$T_{B}$} %surimpression des axes \TracerAxesGrilles[Devant,Origine]{0.2}{1} \end{GraphiqueTikz} \end{center} \begin{center} \textbf{Partie A : Lectures graphiques} \end{center} On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre dérivé $f^{\prime}(1)$. \item Combien de solutions l'équation $f^{\prime}(x) = 0$ admet-elle dans l'intervalle $\IntervalleOF{0}{3}$ ? \item Quel est le signe de $f^{\prime \prime}(0,2)$? \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B : Étude de la fonction $\bm{f}$} \end{center} On admet dans cette partie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = x\left(2(\ln x)^{2} - 3 \ln(x) + 2\right) \] % où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $2X^{2} - 3 X + 2 = 0$. En déduire que $C_{f}$ ne coupe pas l'axe des abscisses. \item Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$. On admettra que la limite de $f$ en 0 est égale à 0. \item On admet que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, $f^{\prime}(x) = 2(\ln x)^{2} + \ln (x) - 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, $f^{\prime \prime}(x) = \frac{1}{x}(4 \ln (x) + 1)$. \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion. \item Montrer que la courbe $C_{f}$ est au-dessus de la tangente $T_{B}$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{1}{+\infty}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C : Calcul d'aire} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que la tangente $T_{B}$ a pour équation réduite $y = 2x - \e$. \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\int_{1}^{\e} x \ln (x) \dx = \frac{\e^{2} + 1}{4}$. \item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par la courbe $C_{f}$, la tangente $T_{B}$, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \e$. On admet que $\int_{1}^{\e} x(\ln (x))^{2} \dx = \frac{\e^{2} - 1}{4}$. En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire. \end{enumerate}