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% bac2025gen-ce-juin-sujet2-exo4.tex On se place dans un repère orthonormé $\Rijk$ de l'espace. On considère les points $A(1; 0; 3)$, $B(-2; 1; 2)$ et $C(0; 3; 2)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. \item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$. \item En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne $-x + y + 4z - 11 = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x - 3y + 2z - 9 = 0$ et le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - y - z + 2 = 0$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection. \item Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vect{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. \item Montrer que le point $M(2; 1; 3)$ appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$. \item Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$. Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ? \end{enumerate}
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