% bac2025gen-ce-juin-sujet2-exo3.tex Le codage « base64 », utilisé en informatique, permet de représenter et de transmettre des messages et d'autres données telles que des images, en utilisant 64 caractères : les 26 lettres majuscules, les 26 lettres minuscules, les chiffres de 0 à 9 et deux autres caractères spéciaux. \medskip \textit{Les parties A, B et C sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse aux séquences de 4 caractères en base64. Par exemple, « gP3g » est une telle séquence. Dans une séquence, l'ordre est à prendre en compte : les séquences « m5C2 » et « 5C2m » ne sont pas identiques. \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de séquences possibles. \item Déterminer le nombre de séquences si l'on impose que les 4 caractères sont différents deux à deux. \item \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de séquences ne comportant pas de lettre A majuscule. \item En déduire le nombre de séquences comportant au moins une lettre A majuscule. \item Déterminer le nombre de séquences comportant exactement une fois la lettre A majuscule. \item Déterminer le nombre de séquences comportant exactement deux fois la lettre A majuscule. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse à la transmission d'une séquence de 250 caractères d'un ordinateur à un autre. On suppose que la probabilité qu'un caractère soit mal transmis est égale à $0,01$ et que les transmissions des différents caractères sont indépendantes entre elles. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de caractères mal transmis. \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale. Donner ses paramètres. \item Déterminer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis. \textit{On donnera l'expression exacte, puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.} \item Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « La probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On s'intéresse maintenant à la transmission de 4 séquences de 250 caractères. On note $X_1$, $X_2$, $X_3$ et $X_4$ les variables aléatoires correspondant aux nombres de caractères mal transmis lors de la transmission de chacune des 4 séquences. On admet que les variables aléatoires $X_1, X_2, X_3$ et $X_4$ sont indépendantes entre elles et suivent la même loi que la variable aléatoire $X$ définie en \textbf{partie B}. On note $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$. \medskip Déterminer, en justifiant, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S$.