% bac2025gen-ce-juin-sujet2-exo1.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=ce2025j2exo1.py] n = 0 u = 6 v = 6 while ...... : u = ...... v = ...... n = n + 1 print(2025 + n) \end{scontents} On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B. Au 1\up{er} janvier 2025, on introduit \num{6000} individus dans chacun des milieux A et B. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A. On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0,93$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en milliers d'individus. \begin{enumerate} \item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B. On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = -0,05 v_n^2 + 1,1 v_n$. Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en milliers d'individus. \begin{enumerate} \item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026. \end{enumerate} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $f(x) = -0,05x^2 + 1,1x$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 11]$. \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6$. \item En déduire que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente vers une limite $\ell$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$. \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux. \begin{enumerate} \item En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à \num{3000} individus. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à \num{3000} individus. \item Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A. \begin{wrapstuff}[r,abovesep=-1.25\baselineskip] \begin{minipage}{5.25cm} {\CodePythonLstFichierAlt*[5cm]{center}{ce2025j2exo1.py}} \end{minipage} \end{wrapstuff} \item On considère le programme \textsf{Python} ci-contre. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A. \item Déterminer l'année affichée après exécution du programme. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace*{1.5cm}