% bac2025gen-ce-juin-sujet1-exo3.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=ce2025j1exo3.py] from math import * def f(x) : return(4*log(1+x)-(x**2)/25) def bornes(n) : p = 1/10**n x = 6 while f(x)-x > 0 : x = x+p return (x-p, x) \end{scontents} \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{1}{+\infty}$ par $f(x)=4 \ln (x+1)-\dfrac{x^{2}}{25}$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleOO{1}{+\infty}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$. \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleOO{1}{+\infty}$, on a : \[ f^{\prime}(x)=\frac{100-2 x-2 x^{2}}{25(x+1)}. \] \item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{1}{+\infty}$ puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2;6,5]$. \item On considère $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[2;6,5]$ par $h(x)=f(x)-x$. On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $h$ : \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=4,deltacl=0.8]{$x$/1,$h(x)$/2}{$2$,$m\approx2{,}364$,$6{,}5$} \tkzTabVar{-/$h(2)$,+/$M\approx2{,}265$,-/$h(6{,}5)$} \end{tikzpicture} \end{Centrage} Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[2 ; 6,5]$. \item On considère le script suivant, écrit en langage \textsf{Python} : \CodePythonLstFichierAlt*[10cm]{center}{ce2025j1exo3.py} On rappelle qu'en langage \textsf{Python}: \begin{itemize} \item la commande \AffVignette[Type=py]{log(x)} renvoie la valeur $\ln(x)$; \item la commande \AffVignette[Type=py]{c**d} renvoie la valeur de $c^{d}$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Donner les valeurs renvoyées par la commande \AffVignette[Type=py]{bornes(2)}. On donnera les valeurs arrondies au centième. \item Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip \textit{Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la \textbf{partie A}.} On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $2 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6,5$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite $\ell$. \item On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la \textbf{partie A}, est la solution de l'équation $h(x)=0$ sur l'intervalle $[2 ; 6,5]$. Justifier que $\ell=\alpha$. \end{enumerate} \vspace*{5mm}