% bac2025gen-ce-juin-sujet1-exo1.tex \textit{Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes.} \medskip Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui-même ses articles. Le logiciel d'une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Le contrôle peut être : \begin{itemize} \item soit « total » : l'employé du magasin scanne alors à nouveau l'ensemble des articles du client ; \item soit « partiel » : l'employé choisit alors un ou plusieurs articles du client pour vérifier qu'ils ont bien été scannés. \end{itemize} Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total. En cas de contrôle total, une erreur du client est détectée dans $30\,\%$ des cas. En cas de contrôle partiel, il n'y a pas d'erreur détectée dans $85\,\%$ des cas. \medskip Un contrôle est déclenché à une caisse automatique. On considère les événements suivants : \begin{itemize} \item $T$ : « Le contrôle est un contrôle total » ; \item $E$ : « Une erreur est détectée lors du contrôle ». \end{itemize} On notera $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les événements contraires de $T$ et $E$. \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer $P\big(\overline{T} \cap E\big)$. \item Calculer la probabilité qu'une erreur soit détectée lors du contrôle. \item Déterminer la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée. On donnera la valeur arrondie au centième. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche 15 contrôles. La probabilité qu'un contrôle mette en évidence une erreur est $p=0,165$. La détection d'une erreur lors d'un contrôle est indépendante des autres contrôles. \smallskip On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs détectées lors des contrôles de cette journée. \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. \item Déterminer la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées. \textit{On donnera la valeur arrondie au centième.} \item Déterminer la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée. \textit{On donnera la valeur arrondie au centième.} \item On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à $99\,\%$. Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché 20 contrôles. On note $X_{1}$, $X_{2}$ et $X_{3}$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée. On admet que les variables aléatoires $X_{1}$, $X_{2}$ et $X_{3}$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $\mathcal{B}(20 ; 0,165)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs exactes de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_{1}$. \item On définit la variable aléatoire $S$ par $S=X_{1}+X_{2}+X_{3}$. Justifier que $\Esper{S}=9,9$ et que $\Varianc{S}=\num{8,2665}$. \item Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $\Esper{S}$. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à $0,48$. \end{enumerate}