% bac2025gen-asie-septembre-sujet2-exo4.tex Soit $n$ un entier naturel non nul. Dans le cadre d'une expérience aléatoire, on considère une suite d'évènements $A_{n}$ et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$. \smallskip Pour les parties \textbf{A} et \textbf{B} de l'exercice, on considère que : \begin{itemize} \item Si l'événement $A_{n}$ est réalisé alors l'événement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0,3$. \item Si l'événement $A_{n}$ n'est pas réalisé alors l'événement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0,7$. \end{itemize} On suppose que $p_{1}=1$. \medskip \textbf{Partie A :} \smallskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous : \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz[Racine={$A_{1}$},PositionProbas=auto,InclineProbas=false]{% $A_{2}$//,$A_{3}$//,$\overline{A_{3}}$//, $\overline{A_{2}}$/\num{0.7}/,$A_{3}$//,$\overline{A_{3}}$//% } \end{Centrage} \item Montrer que $p_{3}=0,58$. \item Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_{3}}\left(A_{2}\right)$, arrondir le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} \medskip Dans cette partie, on étudie la suite $\left(p_{n}\right)$ avec $n \geqslant 1$. \begin{enumerate} \item Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous : \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,InclineProbas=false]{% $A_{n}$/$p_{n}$/,$A_{n+1}$//,$\overline{A_{n+1}}$//, $\overline{A_{n}}$//,$A_{n+1}$//,$\overline{A_{n+1}}$//% } \end{Centrage} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1}=-0,4 p_{n}+0,7$. \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n}=p_{n}-0,5$. \begin{itemize} \item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. \item En déduire l'expression de $u_{n}$, puis de $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. \end{itemize} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $x \in \IntervalleOF{0}{1}$, on suppose que $P_{\overline{A_{n}}}\left(A_{n+1}\right)=P_{A_{n}}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=x$. On rappelle que $p_{1}=1$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1}=(1-2 x) p_{n}+x$. \item Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[ p_{n}=\frac{1}{2}(1-2 x)^{n-1}+\frac{1}{2}. \] \item Montrer que la suite $\left(p_{n}\right)$ est convergente et donner sa limite. \end{enumerate}