% bac2025gen-asie-septembre-sujet2-exo2.tex {\itshape Dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est la droite qui passe par les trois points suivants : \begin{itemize} \item le centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets de ce triangle) ; \item le centre de gravité de ce triangle situé à l'intersection des médianes de ce triangle ; \item l'orthocentre de ce triangle situé à l'intersection des hauteurs de ce triangle ». \end{itemize}} \smallskip \begin{wrapstuff}[r] \begin{EnvTikzEspace}[VueClassique] \PaveTikzTriDim[Cube,Largeur=3.25,Sommets={B§C§D§A§F§G§H§E},AffLabel] \end{EnvTikzEspace} \end{wrapstuff} Le but de l'exercice est d'étudier un exemple de droite d'Euler. \smallskip On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté une unité. L'espace est muni du repère orthonormé $\RepereEspace{A}{AB}{AD}{AE}$. On note $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $J$ le milieu du segment $[BG]$. \begin{enumerate} \item Donner sans justification les coordonnées des points $A$, $B$, $G$, $I$ et $J$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AJ)$. \item Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IG)$ est : \[ \begin{cases} x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} t \\ y=t \\ z=t \end{cases} \text{ avec } t \in \R. \] \item Démontrer que les droites $(AJ)$ et $(IG)$ sont sécantes en un point $S$ de coordonnées $S\left(\frac{2}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vec{n}(0 ;-1 ; 1)$ est normal au plan $(ABG)$. \item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABG)$. \item On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{n}$ et passant par le point $K$ de coordonnées $\left(\frac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$ est : \[ \begin{cases} x=\frac{1}{2} \\ y=-t \\ z=1+t \end{cases} \text{ avec } t \in \R. \] % Montrer que cette droite $(d)$ coupe le plan $(ABG)$ en un point $L$ de coordonnées $L\left(\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right)$. \item Montrer que le point $L$ est équidistant des points $A$, $B$ et $G$. \end{enumerate} \item Montrer que le triangle $ABG$ est rectangle en $B$. \item \begin{enumerate} \item Identifier le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre du triangle $ABG$ (aucune justification n'est attendue). \item Vérifier par un calcul que ces trois points sont effectivement alignés. \end{enumerate} \end{enumerate}