% bac2025gen-asie-juin-sujet2-exo2.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=asie2025j2exo2.py] def suite(n) : U = 30 W = 45 for i in range(1, n+1) : U = U/2 + 10 W = W/2 + U/2 + 7 return W \end{scontents} \textbf{\underline{Partie A}} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=30$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_{n}+10$. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n}-20$. \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs exactes de $u_{1}$ et $u_{2}$. \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Justifier la réponse. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ \begin{dcases} w_{0}=45 \\ w_{n+1}=\frac{1}{2} w_{n}+\frac{1}{2} u_{n}+7 \end{dcases} \] % \begin{enumerate} \item Montrer que $w_{1}=44,5$. \end{enumerate} On souhaite écrire une fonction \AffVignette[Type=py]{suite} en langage \textsf{Python}, qui renvoie la valeur du terme $w_{n}$ pour une valeur de $n$ donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction \AffVignette[Type=py]{suite}. \CodePythonLstFichierAlt[9cm]{center}{asie2025j2exo2.py} \begin{enumerate}[resume] \item L'exécution de \AffVignette[Type=py]{suite(1)} ne renvoie pas le terme $w_{1}$. Comment modifier la fonction \texttt{suite} afin que l'exécution de \AffVignette[Type=py]{suite(n)} renvoie la valeur du terme $w_{n}$ ? \item \begin{enumerate} \item Montrer, par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ on a : \[ w_{n}=10n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+34 \] \item On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 4$, on a : $0 \leqslant 10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \leqslant \dfrac{10}{n}$. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate}