% bac2025gen-asie-juin-sujet1-exo4.tex On considère $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par $f(x)=\dfrac{\e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}$ et on appelle $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par $g(x)=\e^{\sqrt{x}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $g^{\prime}(x)=f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, calculer $f^{\prime}(x)$ et montrer que :\[ f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)}{4 x \sqrt{x}}. \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0. \item Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition. \item Démontrer que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur l'intervalle $\IntervalleFO{1}{+\infty}$ et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution. \end{enumerate} \item On pose $I=\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \dx$. \begin{enumerate} \item Calculer $I$. \item Interpréter graphiquement le résultat obtenu. \end{enumerate} \item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ et que :\[ f^{\prime \prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}(x-3 \sqrt{x}+3)}{8 x^{2} \sqrt{x}}.\] \begin{enumerate} \item En posant $X=\sqrt{x}$, montrer que $x-3 \sqrt{x}+3>0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \end{enumerate}