% bac2025gen-asie-juin-sujet1-exo3.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=asie2025j1exo3.py] def mystere(k) : n = 1 s = 2 while s < k : n = n + 1 s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n \end{scontents} Un patient doit prendre toutes les heures une dose de 2 mL d'un médicament. On introduit la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que le terme $u_{n}$ représente la quantité de médicament, exprimée en mL, présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament. On a $u_{1}=2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif : $u_{n+1}=2+0,8 u_{n}$. \medskip \textbf{Partie A} \medskip En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9~mL. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur $u_{2}$. \item Montrer, par récurrence sur $n$, que $u_{n}=10-8 \times 0,8^{n-1}$ pour tout entier naturel $n$ strictement positif. \item Déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}$ et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_{N} \geqslant 10$ admet-elle des solutions ? Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice. \item Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9~mL. Justifier votre démarche. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du malade au cours du temps. On définit pour cela la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par \[ S_{n}=\frac{u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}}{n}. \] % On admet que la suite $\left(S_{n}\right)$ est croissante. \begin{enumerate} \item Calculer $S_{2}$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, \[ u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=10 n-40+40 \times 0,8^{n}. \] \item Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} S_{n}$. \item On donne la fonction \AffVignette[Type=py]{mystere} suivante, écrite en langage \textsf{Python}. \CodePythonLstFichierAlt[9cm]{center}{asie2025j1exo3.py} Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie \AffVignette[Type=py]{mystere(9)} ? \item Justifier que cette valeur est strictement supérieure à 10. \end{enumerate}