% bac2025gen-asie-juin-sujet1-exo2.tex Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise : un test dit de fabrication et un test dit de sécurité. À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que : \begin{itemize} \item $95\,\%$ des jouets réussissent le test de fabrication; \item parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98\,\%$ réussissent le test de sécurité; \item $1\,\%$ des jouets ne réussissent aucun des deux tests. \end{itemize} On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : \begin{itemize} \item $F$ l'événement: « le jouet réussit le test de fabrication »; \item $S$ l'événement: « le jouet réussit le test de sécurité ». \end{itemize} \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P(F)$ et $P_{F}(S)$. \item \begin{enumerate} \item Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé. \item Montrer que $P_{\overline{F}}\big(\overline{S}\big)=0,2$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests. \item Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut $0,97$ arrondi au centième. \item Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée du résultat au centième. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise. \smallskip On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0,95$. Soit $S_{n}$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $S_{n}$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,95$. \begin{enumerate} \item Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_{n}$ en fonction de $n$. \item Dans cette question, on pose $n=150$. \begin{enumerate} \item Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P\left(S_{150}=145\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item Déterminer la probabilité qu'au moins $94\%$ des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \item Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé. Soit $F_{n}$ la variable aléatoire définie par : $F_{n}=\dfrac{S_{n}}{n}$. La variable aléatoire $F_{n}$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés. On note $\Esper{F_{n}}$ l'espérance et $\Varianc{F_{n}}$ la variance de la variable aléatoire $F_{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Esper{F_{n}}=0,95$ et que $\Varianc{F_{n}}=\dfrac{0,0475}{n}$. \item On s'intéresse à l'événement $I$ suivant: « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre $93\,\%$ et $97\,\%$ ». En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'événement $I$ est supérieure ou égale à $0,96$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace*{5mm}