% bac2025gen-amsud-novembre-sujet2-exo4.tex \textbf{Partie A : Dénombrement} \medskip On considère l'ensemble des nombres entiers relatifs non nuls compris entre $-30$ et $30$ ; cet ensemble peut s'écrire ainsi : $\left(-30; -29; -28; \ldots; -1; 1; \ldots; 28; 29; 30\right)$. Il comporte $60$ éléments. On choisit successivement et sans remise un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$. \begin{enumerate} \item Combien de couples $(a; c)$ différents peut-on ainsi obtenir ? \end{enumerate} On considère l'événement $M$ : « l'équation $ax^2 + 2x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes », où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis. \begin{enumerate}[resume] \item Montrer que l'événement $M$ a lieu si et seulement si $ac < 1$. \item Expliquer pourquoi l'événement contraire $\overline{M}$ comporte $\num{1740}$ issues. \item Quelle est la probabilité de l'événement $M$ ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B : Équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' + 10y = (30x^2 + 22x - 8)\e^{-5x+1}$ où $x \in \R$ et $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. \begin{enumerate} \item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle : $y' + 10y = 0$. \item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (6x^2 + 2x - 2)\e^{-5x+1}$. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa dérivée. Justifier que $f$ est une solution particulière de $(E)$. \item Donner l'expression de toutes les solutions de $(E)$. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C : Étude de fonction} \medskip On propose d'étudier dans cette partie la fonction $f$ rencontrée à la question partie \textbf{B.2.}. On rappelle que, pour tout réel $x$, $f(x)=(6 x^{2}+2 x-2)\e^{-5 x+1}$. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan. \begin{enumerate} \item On admet que $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=0$. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. \item En utilisant la partie \textbf{A}, montrer que $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe des abscisses en deux points (\textit{les coordonnées de ces points ne sont pas attendues}). \item En utilisant les parties \textbf{A} et \textbf{B}, montrer que $\mathcal{C}_{f}$ possède deux tangentes horizontales. \item Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$. \item Déterminer en justifiant le nombre de solution(s) de l'équation $f(x)=1$. \item Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0,2$, on définit $I_{m}$ par $I_{m}=\displaystyle\int_{0,2}^{m} f(x) \dx$. \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\left(-\frac{6}{5} x^{2}-\frac{22}{25} x+\frac{28}{125}\right)\e^{-5 x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. \item Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_{m}=0$ ? Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate}