% bac2025gen-amsud-novembre-sujet2-exo3.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=as2025j2exo3.py] from math import log as ln from math import exp def seuil(S) : V = ln(4) n = 0 while V < S : n = n + 1 V = ln(2 * exp(V) - 1) return(n) \end{scontents} On considère les suites $\Suite{v}$ et $\Suite{w}$ définies pour tout entier naturel $n$ par : \[ \begin{cases} v_0 = \ln(4) \\ v_{n+1} = \ln\big({-1 + 2\e^{v_n}}\big) \end{cases} \text{ et }\: w_n = -1 + e^{v_n}. \] % On admet que la suite $\Suite{v}$ est bien définie et strictement positive. \begin{wrapstuff}[r] \begin{tikzpicture}[scale=0.55,transform shape] \tabcolwidth{2.55cm} \tableur[19]{A-C} \lignetxt*[align=left,font=\sffamily]{1}{n,v\_n,w\_n} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{2}{0,1{,}386294361,3} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{3}{1,1{,}945910149,6} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{4}{2,2{,}564949357,12} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{5}{3,3{,}218875825,24} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{6}{4,3{,}891820298,48} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{7}{5,4{,}574710979,96} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{8}{6,5{,}262690189,192} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{9}{7,5{,}953243334,384} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{10}{8,6{,}64509097,768} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{11}{9,7{,}337587744,1536} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{12}{10,8{,}030409562,3072} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{13}{11,8{,}723394022,6144} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{14}{12,9{,}416459832,12288} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{15}{13,10{,}10956633,24576} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{16}{14,10{,}80269316,49152} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{17}{15,11{,}49583017,98304} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{18}{16,12{,}18897226,196608} \lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{19}{17,12{,}8821169,393216} \end{tikzpicture} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$. \item \begin{enumerate} \item Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites $\Suite{v}$ et $\Suite{w}$ est reproduite ci-contre. Parmi les trois formules suivantes, choisir celle qui, saisie dans la cellule \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{B3} puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite $\Suite{v}$ dans la colonne \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{B}. \medskip \leavevmode\hspace*{1cm} \begin{tblr}{stretch=1.125,hlines,vlines,colspec={Q[m,l,2cm]Q[m,l]}} Formule 1 & \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{LN(-1 + 2 * EXP(B2))} \\ Formule 2 & \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{=LN(-1 + 2 * EXP(B2))} \\ Formule 3 & \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{=LN(-1 + 2 * EXP(A2))} \\ \end{tblr} \medskip \item Conjecturer le sens de variation de la suite $\Suite{v}$. \item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite $\Suite{v}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\Suite{w}$ est géométrique. \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n = \ln\big(1 + 3 \times 2^n\big)$. \item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$. \end{enumerate} \item Justifier que l'algorithme suivant, écrit en langage \textsf{Python}, renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre \AffVignette[Type=py]{S}. \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{as2025j2exo3.py} \end{enumerate}