% bac2025gen-amsud-novembre-sujet2-exo1.tex \textit{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.} \textit{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre. } \medskip \textbf{Partie A} \medskip Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle. En match, Abel réussit son premier service dans 70\,\% des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80\,\% des cas. En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45\,\% des cas. Abel est au service. On considère les événements suivants : \begin{itemize}[leftmargin=1.25cm] \item S : « Abel réussit son premier service » \item G : « Abel gagne le point ». \end{itemize} \begin{enumerate} \item Décrire l'événement $\overline{S}$ puis traduire la situation par un arbre pondéré. \item Calculer $P(S \cap G)$. \item Justifier que la probabilité de l'événement $G$ est égale à $0,695$. \item Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ? \item Les événements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie B} \medskip À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85\,\% des cas. \begin{enumerate} \item On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier. \item Calculer $P(X \leqslant 18)$. \item Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées ? \item Déterminer l'espérance de $X$. \end{enumerate} \item On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X_{i}$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0,85$. On considère la variable aléatoire \[ M_{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{n} = \frac{X_{1}}{n} + \frac{X_{2}}{n} + \frac{X_{3}}{n} + \ldots + \frac{X_{n}}{n}. \] \begin{enumerate} \item Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$. \item Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$, ${P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant 1 - \frac{12,75}{n}}$. \item En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle $\IntervalleOO{0,75}{ 0,95}$ avec une probabilité supérieure à $0,9$. \end{enumerate} \end{enumerate}