% bac2025gen-amsud-novembre-sujet1-exo1.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=amsud2025j1exo1a.py] def repas(n) : p = 1 L = [p] for k in range(1, n) : p = 0.2 * p + 0.7 L.append(p) return L \end{scontents} \begin{scontents}[overwrite,write-out=amsud2025j1exo1b.py] def repas(n) : p = 1 L = [p] for k in range(1, n+1) : p = 0.2 * p + 0.7 L.append(p) return L \end{scontents} \begin{scontents}[overwrite,write-out=amsud2025j1exo1c.py] def repas(n) : p = 1 L = [p] for k in range(1, n+1) : p = 0.2 * p + 0.7 L.append(p+1) return L \end{scontents} Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens. \begin{itemize} \item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$. \item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$. \end{itemize} Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ l'événement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n^{\text{ième}}$ jour » et $p_n$ la probabilité de $V_n$. Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Indiquer la valeur de $p_2$. \item Montrer que $p_3 = 0,88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré. \item Sachant que le 3\textsuperscript{e} jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ? On arrondira le résultat à $ 10^{-3} $. \end{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous : \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz{$V_{n}$/$p_{n}$/,$V_{n+1}$/\numdots/,$\overline{V}_{n+1}$/\numdots/,$\overline{V}_{n}$/\numdots/,$V_{n+1}$/\numdots/,$\overline{V}_{n+1}$/\numdots/} \end{Centrage} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $p_{n+1}=0,2p_n + 0,7$. \item On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$ pour $n \geqslant 1$. Pour cela, on utilise une fonction appelée \AffVignette[Type=py]{repas} programmée en langage \textsf{Python} dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous. \medskip \begin{minipage}{0.33\linewidth} \CodePythonLstFichierAlt[\linewidth]{center,title={Programme 1},listing options={style=PLpython,xleftmargin=\PythonCodeXLeft,numbers=left,tabsize=2,basicstyle=\ttfamily\scriptsize}}{amsud2025j1exo1a.py} \end{minipage} % \begin{minipage}{0.33\linewidth} \CodePythonLstFichierAlt[\linewidth]{center,title={Programme 2},listing options={style=PLpython,xleftmargin=\PythonCodeXLeft,numbers=left,tabsize=2,basicstyle=\ttfamily\scriptsize}}{amsud2025j1exo1b.py} \end{minipage} % \begin{minipage}{0.33\linewidth} \CodePythonLstFichierAlt[\linewidth]{center,title={Programme 3},listing options={style=PLpython,xleftmargin=\PythonCodeXLeft,numbers=left,tabsize=2,basicstyle=\ttfamily\scriptsize}}{amsud2025j1exo1c.py} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Lequel de ces programmes permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$ ? Aucune justification n'est attendue. \item Avec le programme choisi à la question \textbf{(a)}, donner le résultat affiché pour \AffVignette[Type=py]{n = 5}. \end{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $p_n = 0,125 \times 0,2^{n-1} + 0,875 $. \item En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$. \end{enumerate}