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% bac2025gen-amnord-mai-sujet2-remplacement-exo4.tex L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[\begin{dcases}u_{0}=0\\u_{1}=\dfrac{1}{2}\\u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_{n}\end{dcases}.\] \textbf{Partie A : Conjecture} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. \textit{Aucune justification n'est demandée.} \begin{Centrage} \begin{tblr}{width=0.8\linewidth,hlines,vlines,colspec={*{7}{X[m,c]}}} $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ $u_{n}$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & & & \\ \end{tblr} \end{Centrage} \item Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \textbf{Partie B : Étude d'une suite auxiliaire} \medskip Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : \[w_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{2} u_{n}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $w_{0}$. \item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : \[u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}.\] \item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, $ u_{n}=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$. \end{enumerate} \textbf{Partie C : Étude de la suite $\bm{\left(u_{n}\right)}$} \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite. \item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate}
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