% bac2025gen-amnord-mai-sujet2-remplacement-exo3.tex Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près. \bigskip Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2\,\%$ de la population d'un pays. Dans ce pays, $90\,\%$ de la population a été vaccinée contre ce virus. On constate que $62\,\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées. \bigskip On interroge au hasard une personne, et on note les évènements suivants : \begin{itemize} \item[] $C$ : \og la personne a été contaminée \fg{} \item[] $V$ : \og la personne a été vaccinée \fg{}. \end{itemize} Les évènements contraires des évènements $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$. \begin{enumerate} \item À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et la probabilité conditionnelle $P_C(V)$. %de : ce "de" est sur le sujet, ça me semble être une erreur de français. (cf remarque APMEP) \item \begin{enumerate} \item Calculer $P(C \cap V)$. \item En déduire $P\big(\overline{C} \cap V\big)$. \end{enumerate} \item Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter. \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{$C$/\numdots/,$V$/\numdots/,$\overline{V}$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/,$V$/\numdots/,$\overline{V}$/\numdots/} \end{Centrage} % % \begin{center} % \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}] % % Styles (MODIFIABLES) % \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick] % \tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] % \tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] % \tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt] % % Dimensions (MODIFIABLES) % \def\DistanceInterNiveaux{3} % \def\DistanceInterFeuilles{0.8} % % Dimensions calculées (NON MODIFIABLES) % \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} % \def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux} % \def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux} % \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles} % % Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles) % \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {}; % \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$C$}; % \node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$V$}; % \node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{V}$}; % \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{C}$}; % \node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$V$}; % \node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{V}$}; % % Arcs (MODIFIABLES : Styles) % \draw[fleche] (R.east)--(Ra.west);% node[etiquette] {$$}; % \draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west);% node[etiquette] {$$}; % \draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west);% node[etiquette] {$$}; % \draw[fleche] (R.east)--(Rb.west);% node[etiquette] {$$}; % \draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west);% node[etiquette] {$$}; % \draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west);% node[etiquette] {$$}; % \end{tikzpicture} % \end{center} % \item Calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \item Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse. \begin{enumerate} \item \og Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées.\fg \item \og Plus de 98\,\% de la population vaccinée n'a pas été contaminée.\fg{} \end{enumerate} \item On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population. La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées. \emph{On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est} $p = 0,02$. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres. \item Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes. \end{enumerate} \end{enumerate}