% bac2025gen-amnord-mai-sujet2-remplacement-exo1.tex On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x)=x \e^{-x}+2 x-1.\] On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, c'est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f'$. \medskip \textbf{Partie A: Étude de la fonction $\bm{f}$} \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. \item Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$. \item Montrer que pour tout réel $x$ : \[f''(x)= (x-2) \e^{-x}\] \item Étudier la convexité de la fonction $f$. \item Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\R$, puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum. Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues. \item En déduire le signe de la fonction $f'$ sur $\R$, puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$. \item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$. Donner un encadrement de $\alpha$, au centième près. \item On considère la droite $\Delta$ d'équation $y=2 x-1$. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \textbf{Partie B : Calcul d'aire} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $D_{n}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$. On note \[ I_{n}=\int_{1}^{n} x \e^{-x} \dx.\] % \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_{n}$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Justifier que l'aire du domaine $D_{n}$ est $I_{n}$. \item Calculer la limite de l'aire du domaine $D_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate}