% bac2025gen-amnord-mai-sujet2-exo2.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=an2025j2exo2.py] from math import * def Briggs(a) : n = 0 while a >= 1.01 : n = n+1 L = ....... return L \end{scontents} Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au 16\up{e} siècle. On désigne par $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : \[u_{0}=2 \quad \text { et } \quad \text { pour tout entier naturel } n,~u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}.\] \textbf{PARTIE A} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$. \item Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. \item Résoudre dans l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ l'équation $\sqrt{x}=x$. \item Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE B} \medskip On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln{\left(u_{n}\right)}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$. \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)=2^{n} \ln{\left(u_{n}\right)}$. \end{enumerate} \item On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. Une équation de la droite T est $y=x-1$. Les points $A_{0}, A_{1}, A_{2}$ ont pour abscisses respectives $u_{0}, u_{1}$ et $u_{2}$ et pour ordonnée 0 . \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=4.4cm,y=4.4cm,Xmin=-0.25,Xmax=2.25,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-0.25,Ymax=1.25,Ygrille=1,Ygrilles=1] \draw (-2pt,-2pt) node[below left] {$0$} ; \TracerAxesGrilles[Grille=false,Elargir=2.5mm]{1,2}{0.5,1} \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0.5]{ln(x)} \TracerCourbe[Couleur=blue]{x-1} \PlacerTexte[Police=\Large,Couleur=red]{(1.91,0.568)}{$\mathcal{C}$} \PlacerTexte[Police=\Large,Couleur=blue]{(1.91,0.795)}{$T$} %points suite u_n \filldraw (2,0) circle[radius=2pt] node[above] {$A_{0}$} ; \filldraw ({sqrt(2)},0) circle[radius=2pt] node[above] {$A_{1}$} ; \filldraw ({sqrt(sqrt(2))},0) circle[radius=2pt] node[above] {$A_{2}$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} On décide de prendre $x-1$ comme approximation de $\ln(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\IntervalleOO{0,99}{1,01}$. \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_{k}$ appartienne à l'intervalle $\IntervalleOO{0,99}{1,01}$ et donner une valeur approchée de $u_{k}$ à $10^{-5}$ près. \item En déduire une approximation de $\ln \left(u_{k}\right)$. \item Déduire des questions \textbf{1.(c)} et \textbf{2.(b)} de la \textbf{partie B} une approximation de $\ln (2)$. \end{enumerate} \item On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel \AffVignette[Type=py]{Briggs(a)} renvoie une approximation de $\ln (a)$. On rappelle que l'instruction en langage \AffVignette[Type=py]{Python} \AffVignette[Type=py]{sqrt(a)} correspond à $\sqrt{a}$. \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{an2025j2exo2.py} \end{enumerate}