% bac2025gen-amnord-mai-sujet2-exo1.tex Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points. \textit{Les \textbf{PARTIES A} et \textbf{B} sont indépendantes.} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$. Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de 15 lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants. \smallskip On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués. \smallskip \textit{Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.} \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. \item Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série. \item Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série. \item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$. \item On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers. \begin{enumerate} \item Exprimer $T$ en fonction de $N$. \item En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice. \item Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE B} \medskip On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match. \smallskip On admet que l'espérance $\Esper{X}=22$ et la variance $\Varianc{X}=65$. \smallskip Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif. On note $X_{1}$, $X_{2}$, \ldots, $X_{n}$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des 1\up{er}, 2\up{e}, \ldots, $n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_{1}$, $X_{2}$, \ldots, $X_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$. \smallskip On pose $M_{n}=\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{n}$. \begin{enumerate} \item Dans cette question, on prend $n=50$. \begin{enumerate} \item Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ? \item Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$. \item Démontrer que $P\big(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\big) \leqslant \frac{13}{90}$. \item En déduire que la probabilité de l'événement « $19 < M_{50} < 25$ » est strictement supérieure à $0,85$. \end{enumerate} \item Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$ ». \end{enumerate}