% bac2025gen-amnord-mai-sujet1-exo4.tex \textit{La partie C est indépendante des parties A et B.} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\R$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g^{\prime}$. On précise également que : \begin{itemize} \item La courbe $\mathcal{C}_{1}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 1)$. \item La courbe $\mathcal{C}_{2}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2; 0)$ et $(1; 0)$. \end{itemize} \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1.9cm,y=0.6cm,Xmin=-3,Xmax=5,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-8,Ymax=7,Ygrille=1,Ygrilles=1] \tikzset{pflgrillep/.style={thin,gray,densely dotted}} \tikzset{pflgrilles/.style={thin,gray,densely dotted}} \TracerAxesGrilles[Police=\small,Elargir=2.5mm]{auto}{auto} \TracerCourbe[Couleur=red]{(x^2+3*x+1)*exp(-x)} \begin{scope} \tikzset{pflcourbe/.append style={densely dashed}} \TracerCourbe[Couleur=blue]{(-x^2-x+2)*exp(-x)} \end{scope} \PlacerTexte[Police=\large,Couleur=red]{(2.25,2)}{$\mathcal{C}_{1}$} \PlacerTexte[Police=\large,Couleur=blue]{(2.25,-1.5)}{$\mathcal{C}_{2}$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g^{\prime}$ sa représentation graphique. \item Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 est $y = 2x + 1$. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} On considère $(E)$ l'équation différentielle $y + y^{\prime} = (2x + 3)\e^{-x}$, où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f_{0}$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f_{0}(x) = (x^{2} + 3x)e^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \item Résoudre l'équation différentielle $(E_{0})$ : $y + y^{\prime} = 0$. \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item On admet que la fonction $g$ décrite dans la \textbf{partie A} est une solution de l'équation différentielle $(E)$. Déterminer alors l'expression de la fonction $g$. \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} On considère la fonction f définie pour tout nombre réel $x$ par : \[ f(x) = (x^{2} + 3x + 2)e^{-x}. \] % \begin{enumerate} \item Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 0. On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$. \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f^{\prime}(x) = (-x^{2} - x + 1)\e^{-x}$. \item Déterminer le signe de la fonction dérivée $f^{\prime}$ sur $\R$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \item On notera $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $\Rij$. On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x) = (-x^{2} - 5x - 7)\e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$. Soit $\alpha$ un nombre réel positif. Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \alpha$. \end{enumerate}