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% bac2024gen-poly-septembre-sujet1-exo2.tex \textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \smallskip \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie $\R$ par $f(x)=\e^x+x$. \textbf{Affirmation A} : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous : \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=6]{$x$/0.8,variations de $f$/1.6}{$-\infty$,$+\infty$} \tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$+\infty$} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \textbf{Affirmation B} : L’équation $f(x)=-2$ admet deux solutions dans $\R$. \item \textbf{Affirmation C} : \[ \lim\limits_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\frac13. \] \item On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\R$ par \[ k(x) = 1 + 2\e^{-x^2+1}.\] % \textbf{Affirmation D} : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\R$. \item On considère l’équation différentielle (E) : $3y'+y=1$. \textbf{Affirmation E} : La fonction $g$ définie sur $\R$ par \[ g(x)=4\e^{-\frac13x}+1 \] est solution de l’équation différentielle (E) avec $g(0) = 5$. \item \textbf{Affirmation F} : Une intégration par parties permet d’obtenir : \[ \int_0^1 x\,\e^{-x} \dx = 1-2\e^{-1}.\] \end{enumerate}
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