% bac2024gen-poly-juin-sujet2-exo3.tex On considère la suite $\Suite{u}$ définie par : \[ u_0=8 \text{ et pour tout entier naturel }n,~u_{n+1}=u_n-\ln\left(\frac{u_n}{4}\right). \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$. \item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous en \textsf{Python}. On admet que, pour tout réel strictement positif \texttt{a}, \texttt{log(a)} renvoie la valeur du logarithme népérien de \texttt{a}. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def mystere(k) : u = 8 S = 0 for i in range(k) : S = S + u u = u - log( u / 4 ) return S \end{CodePythonLstAlt} L'exécution de \texttt{mystere(10)} renvoie \texttt{58.44045206721732}. Que représente ce résultat ? \item Modifier la fonction précédente afin qu'elle renvoie la moyenne des $k$ premiers termes de la suite $\Suite{u}$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=x-\ln\left(\frac{x}{4}\right). \] On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et 6. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=2.4cm,y=1.2cm,Xmin=0,Xmax=6,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=0,Ymax=6,Ygrille=1,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles[Elargir=2.5mm]{auto}{auto} \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0.01]{x-log(x/4)} \draw[red] (5,5) node[above right,font=\large] {$\mathcal{C}_f$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} Étudier les variations de $f$ sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ et dresser son tableau de variations. \textit{On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. Les limites ne sont pas demandées.} \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\big(u_n\big)$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n. \] \item En déduire que la suite $\Suite{u}$ converge vers une limite réelle. On note $\ell$ la valeur de cette limite \item Résoudre l'équation $f(x) = x$. \item En déduire la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate}