% bac2024gen-poly-juin-sujet1-exo4.tex L'objectif de cet exercice est de conjecturer en \textbf{partie A} puis de démontrer en \textbf{partie B} le comportement d'une suite. Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=3$ et pour tout $n \in \N$ : \[ u_{n+1}=\frac{4}{5-u_{n}}. \] \textbf{Partie A} \smallskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter la fonction \textsf{Python} suivante \texttt{suite(n)} qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_{n}$. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center} def suite(n) : u = ... for i in range(n) : ... return u \end{CodePythonLstAlt} \item L'exécution de \texttt{suite(2)} renvoie \texttt{1.3333333333333333}. Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage. \item À l'aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center,title={\scriptsize\faCode} Console Python} >>> suite(2) 1.333333333333333 >>> suite(5) 1.0058479532163742 >>> suite(10) 1.0000057220349845 >>> suite(20) 1.000000000005457 \end{CodePythonLstAlt} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{5}$ par : \[ f(x)=\frac{4}{5-x}. \] % Ainsi, la suite $\Suite{u}$ est définie par $u_{0}=3$ et pour tout $n \in \N$, $ u_{n+1}=f\big(u_{n}\big)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{5}$. \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : \[ 1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 4. \] \item \begin{enumerate} \item Soit $x$ un réel de l'intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{5}$. Prouver l'équivalence suivante : \[ f(x)=x \Leftrightarrow x^{2}-5 x+4=0. \] \item Résoudre $f (x) = x$ dans l’intervalle $\IntervalleOO{-\infty}{5}$. \end{enumerate} \item Démontrer que la suite $\Suite{u}$ est convergente. Déterminer sa limite. \item Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ? \end{enumerate}