% bac2024gen-poly-juin-sujet1-exo3.tex \textit{Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ». \begin{enumerate} \item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$. \item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$. \begin{Centrage} \begin{tblr}{width=0.975\linewidth,hlines,vlines,colspec={*{5}{X[m,c]}}} $k$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ $P(X=k)$ & & & & \\ \end{tblr} \end{Centrage} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip Voici les règles d'un jeu où le but est d'obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais : \begin{itemize} \item on lance trois pièces équilibrées : \begin{itemize} \item si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée ; \item sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté {«~Pile~»} ; \end{itemize} \item la partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue. \end{itemize} On considère les évènements suivants : \begin{itemize} \item $G$ : « la partie est gagnée » ; et pour tout entier $k$ compris entre 0 et 3 , les évènements : \item $A_{k}$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ». \end{itemize} \begin{enumerate} \item Démontrer que $P_{A_{1}}(G)=\frac{1}{4}$. \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous : \begin{Centrage} \begin{center} \begin{tikzpicture} \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,semithick] \tikzstyle{etiquette}=[fill=white,pos=0.6,inner sep=1.75pt,font=\small] \def\DistanceInterNiveaux{2.25} \def\DistanceInterFeuilles{0.85} \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles} \coordinate (R) at ({\NiveauA},{(3)*\InterFeuilles}) ; \node[] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A_0$}; \node[] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$G$}; \node[] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{G}$}; \node[] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$A_1$}; \node[] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$G$}; \node[] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{G}$}; \node[] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$A_2$}; \node[] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$G$}; \node[] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{G}$}; \node[] (Rd) at ({\NiveauB},{(6)*\InterFeuilles}) {$A_3$}; \node[] (Rda) at ({\NiveauC},{(6)*\InterFeuilles}) {$G$}; % Arcs (MODIFIABLES : Styles) \draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette] {$\tfrac18$}; \draw[fleche] (Ra)--(Raa); \draw[fleche] (Ra)--(Rab); \draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette] {$\tfrac38$}; \draw[fleche] (Rb)--(Rba); \draw[fleche] (Rb)--(Rbb); \draw[fleche] (R)--(Rc) node[etiquette] {$\tfrac38$}; \draw[fleche] (Rc)--(Rca); \draw[fleche] (Rc)--(Rcb); \draw[fleche] (R)--(Rd) node[etiquette] {$\tfrac18$}; \draw[fleche] (Rd)--(Rda); \end{tikzpicture} \end{center} %:-+-+-+-+- Fin \end{Centrage} \item Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p=\frac{27}{64}$ \item La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative? \item Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ? \end{enumerate}