% bac2024gen-fr-septembre-sujet2-exo3.tex \begin{Centrage} \textbf{Partie A} \end{Centrage} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x) = \frac{6}{1 + 5\e^{-x}}.\] On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $\Courbe[f]$ de la fonction $f$. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=0.75cm,y=0.75cm,Xmin=-4.75,Xmax=8.25,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-1.25,Ymax=7.75,Ygrille=1,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles[Elargir=1mm]{1}{1} \draw (-2pt,-2pt) node[below left] {$0$} ; \DefinirCourbe[Couleur=red,Trace,Nom=cf,Debut=\pflxmin,Fin=\pflxmax]<f>{6/(1+5*exp(-x))} \MarquerPts[Couleur=darkgray,Police=\large]{({ln(5)},3)/A/above left} \PlacerTexte[Couleur=red,Police=\large]{(6.5,6.33)}{$\Courbe[f]$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Montrer que le point $A$ de coordonnées $\big(\ln(5);3\big)$ appartient à la courbe $\Courbe[f]$. \item Montrer que la droite d'équation $y=6$ est une asymptote à la courbe $\Courbe[f]$. \item \begin{enumerate} \item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a : \[ f'(x) = \frac{30 \e^{-x}}{\big(1 + 5 \e^{-x}\big)^2}. \] \item En déduire le tableau de variation complet de $f$ sur $\R$. \end{enumerate} \item On admet que : \begin{itemize} \item $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, on note $f''$ sa dérivée seconde ; \item pour tout réel $x$, \[ f''(x) = \frac{30 \e^{-x} \big(5 \e^{-x} - 1\big)}{\big(1 + 5 \e^{-x}\big)^3}. \] \end{itemize} \begin{enumerate} \item Étudier la convexité de $f$ sur $\R$. On montrera en particulier que la courbe $\Courbe[f]$ admet un point d'inflexion. \item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $\IntervalleOF{-\infty}{\ln(5)} $, on a : $f(x) \geqslant \frac{5}{6} x + 1$. \end{enumerate} \item On considère une fonction $F_k$ définie sur $\R$ par $F_k(x) = k \ln\big(\e^x + 5\big)$, où $k$ est une constante réelle. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\R$. \item En déduire que l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe $\Courbe[f]$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln(5)$ est égale à $6 \ln\left(\frac{5}{3}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{Centrage} \textbf{Partie B} \end{Centrage} L'objectif de cette partie est d'étudier l'équation différentielle suivante : \[ (E)~:~y' = y - \frac{1}{6} y^2. \] On rappelle qu’une solution de l’équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$ telle que pour tout $x$ réel, on a : \[ u'(x) = u(x) - \frac16 u(x)^2. \] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ définie dans la \textbf{partie A} est une solution de l'équation différentielle $(E)$. \item Résoudre l'équation différentielle $y' = -y + \frac{1}{6}$. \item On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\R$ qui ne s'annule pas. On note $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \frac{1}{g(x)}$. On admet que $h$ est dérivable sur $R$. On note $g'$ et $h'$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $h$ est solution de l'équation différentielle $y' = -y + \frac{1}{6}$, alors $g$ est solution de l'équation différentielle $y' = y - \frac{1}{6} y^2$. \item Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définie sur $\R$ par : \[ g_m(x) = \frac{6}{1 + 6m\,\e^{-x}}. \] Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l'équation différentielle $(E)~:~y' = y - \frac{1}{6} y^2$. \end{enumerate} \end{enumerate}